Questão 2 (2pts)

Ache a expressão em série de potências da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-7 x+12}
Qual é seu raio de convergência? Qual é seu intervalo de convergência?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. A expressão em série de potências (ou seja, uma série em potências de x centrada em 0) da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-7x+12}.
  1. O raio de convergência dessa série.
  2. O intervalo de convergência (na reta real).
Informações dadas e observações iniciais que vou usar depois:
  • O denominador fatoriza como (x-3)(x-4) porque 3+4=7 e 3\cdot4=12.
  • Queremos uma série em potências de x (uma série de Maclaurin), ou seja da forma \sum_{n\ge0} a_n x^n.
  • Vou trabalhar com decomposição em frações parciais e usar séries geométricas para obter a expansão.

Passo 2

Primeiro simplifico a função para facilitar a decomposição. Note que o numerador tem grau igual ao denominador, então faço uma separação simples:
x^{2} = (x^{2}-7x+12) + (7x-12).
Dividindo ambos os lados por x^{2}-7x+12 obtenho
\frac{x^{2}}{x^{2}-7x+12} = 1 + \frac{7x-12}{x^{2}-7x+12}.
Portanto
f(x)=1+\frac{7x-12}{(x-3)(x-4)}.

Passo 3

Faço agora frações parciais na parte racional restante. Procuro A e B tais que
\frac{7x-12}{(x-3)(x-4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-4}.
Multiplicando por (x-3)(x-4) vem
7x-12 = A(x-4)+B(x-3).
Para determinar A e B uso substituições simples:
  • Tomando x=3: 7\cdot3-12=9 = A(3-4)=A(-1), então A=-9.
  • Tomando x=4: 7\cdot4-12=16 = B(4-3)=B(1), então B=16.
Logo
\frac{7x-12}{(x-3)(x-4)} = -\frac{9}{x-3} + \frac{16}{x-4}.

Passo 4

Reescrevo essas frações de uma forma que permita usar a série geométrica \dfrac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n} para |t|<1.
Observe:
-\frac{9}{x-3} = -\frac{9}{-3(1-\tfrac{x}{3})} = \frac{3}{1-\tfrac{x}{3}},
e
\frac{16}{x-4} = \frac{16}{-4(1-\tfrac{x}{4})} = -\frac{4}{1-\tfrac{x}{4}}.
Portanto, combinando com o 1 já separado,
f(x)=1+\frac{3}{1-\tfrac{x}{3}} - \frac{4}{1-\tfrac{x}{4}}.

Passo 5

Agora uso a série geométrica \dfrac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n} válida para |t|<1.
Aplicando a cada termo:
\frac{3}{1-\tfrac{x}{3}} = 3\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{3}\right)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}3^{1-n}x^{n},
-\frac{4}{1-\tfrac{x}{4}} = -4\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{4}\right)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}-4^{1-n}x^{n}.
Somando com o 1 (que é 1\cdot x^{0}) obtemos a série resultado (pelo princípio da combinação termo a termo, válida no disco comum de convergência).

Passo 6

Combino as somas termo a termo: para cada n\ge0\) o coeficiente de \(x^{n}\) é \[a_n = \begin{cases} 1 + 3^{1-0} - 4^{1-0}, & n=0,\\[4pt] 3^{1-n} - 4^{1-n}, & n\ge1. \end{cases}
Calculando o termo independente ( n=0\]): \[a_0 = 1 + 3 - 4 = 0,\] então o termo constante desaparece (isto faz sentido porque \(f(0)=0). Para n\ge1 fica
a_n = 3^{1-n} - 4^{1-n}.
Assim podemos escrever a série de potências de forma limpa como
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(3^{1-n}-4^{1-n}\right)x^{n}.]

Passo 7

Interpreto o raio de convergência. Cada uma das séries geométricas usadas tem raio de convergência dado pela condição |x/3|<1 e |x/4|<1, ou seja raios 3 e 4 respectivamente. A série resultante converge no disco onde ambas as séries individuais convergem, isto é onde |x|<3. Geometricamente isto também é a distância do centro 0 até a singularidade mais próxima da função original (polos em x=3 e x=4), então o raio de convergência é
R=3.

Passo 8

Determino o intervalo de convergência real. Como o raio é 3, o intervalo candidato é (-3,3). Agora verifico os pontos extremos x=\pm 3:
  • Para x=3: a função original tem pólo em x=3 (denominador zero), portanto a série não pode convergir para um valor finito ali — diverge em x=3.
  • Para x=-3: substituo na forma dos coeficientes gerais e considero os termos da série
(3^{1-n}-4^{1-n})(-3)^{n} = 3\cdot(-1)^{n} - 4\cdot\Big(-\frac{3}{4}\Big)^{n}.
O segundo somando é um termo geométrico que tende a zero e sua soma converge. O primeiro termo é 3(-1)^{n}, cujos termos não tendem a zero, logo a série não pode convergir (série com termos que não vão a zero diverge). Portanto a série também diverge em x=-3.
Concluo que não há convergência nos extremos, então o intervalo de convergência é aberto:
(-3,3).

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(3^{1-n}-4^{1-n}\bigr)x^{n}.
\displaystyle R=3.
\displaystyle Intervalo de convergência: (-3,3).

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