Questão 2 (2pts)
Ache a expressão em série de potências da função
Qual é seu raio de convergência? Qual é seu intervalo de convergência?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- A expressão em série de potências (ou seja, uma série em potências de
centrada em ) da função
- O raio de convergência dessa série.
- O intervalo de convergência (na reta real).
Informações dadas e observações iniciais que vou usar depois:
- O denominador fatoriza como
porque e . - Queremos uma série em potências de
(uma série de Maclaurin), ou seja da forma . - Vou trabalhar com decomposição em frações parciais e usar séries geométricas para obter a expansão.
Passo 2
Primeiro simplifico a função para facilitar a decomposição. Note que o numerador tem grau igual ao denominador, então faço uma separação simples:
Dividindo ambos os lados por
obtenho
Portanto
Passo 3
Faço agora frações parciais na parte racional restante. Procuro
e
tais que
Multiplicando por
vem
Para determinar
e
uso substituições simples:
- Tomando
: , então . - Tomando
: , então .
Logo
Passo 4
Reescrevo essas frações de uma forma que permita usar a série geométrica
para
.
Observe:
e
Portanto, combinando com o
já separado,
Passo 5
Agora uso a série geométrica
válida para
.
Aplicando a cada termo:
Somando com o
(que é
) obtemos a série resultado (pelo princípio da combinação termo a termo, válida no disco comum de convergência).
Passo 6
Combino as somas termo a termo: para cada
Calculando o termo independente (
). Para
fica
Assim podemos escrever a série de potências de forma limpa como
Passo 7
Interpreto o raio de convergência. Cada uma das séries geométricas usadas tem raio de convergência dado pela condição
e
, ou seja raios
e
respectivamente. A série resultante converge no disco onde ambas as séries individuais convergem, isto é onde
. Geometricamente isto também é a distância do centro
até a singularidade mais próxima da função original (polos em
e
), então o raio de convergência é
Passo 8
Determino o intervalo de convergência real. Como o raio é
, o intervalo candidato é
. Agora verifico os pontos extremos
:
-
Para
: a função original tem pólo em (denominador zero), portanto a série não pode convergir para um valor finito ali — diverge em . -
Para
: substituo na forma dos coeficientes gerais e considero os termos da série
O segundo somando é um termo geométrico que tende a zero e sua soma converge. O primeiro termo é
, cujos termos não tendem a zero, logo a série não pode convergir (série com termos que não vão a zero diverge). Portanto a série também diverge em
.
Concluo que não há convergência nos extremos, então o intervalo de convergência é aberto: