a_n = 2^{n}\frac{\ln(n)}{n^{2}}\quad\text{(coeficiente do termo }(x-1)^n\text{)}.
Observação importante: \ln(0) é indefinido, então a soma escrita a partir de n=0 é inconsistente para n=0. Vou interpretar a série como iniciando em n=1, ou seja
que é o entendimento natural deste tipo de exercício. As perguntas são, portanto:
Qual o raio de convergência R?\n2) Qual o intervalo de convergência (centro em x=1), com checagem dos extremos?
Passo 2
Definição e método para achar o raio: para uma série de potências \sum a_n (x-1)^n, o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Explico essa fórmula de forma simples: o teste da raiz (ou raiz n-ésima) diz que a série convergirá para |x-1| tal que \limsup |a_n (x-1)^n|^{1/n}<1. Isso se rearranja para |x-1|<1/\limsup |a_n|^{1/n}, daí o R acima. Vou aplicar isso com a_n=2^{n}\frac{\ln n}{n^{2}}.
Passo 3
Calculemos \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Como \ln n>0 para n\ge 2, podemos escrever (para n grande)
Vamos verificar convergência. Uma maneira simples é comparar com uma p-série convergente: para n grande, \ln n cresce muito mais devagar que qualquer potência n^\alpha. Em particular existe N tal que para n\ge N vale \ln n \le n^{1/2}. Então para n\ge N,
Como \sum 1/n^{3/2} é convergente (p-série com p=3/2>1), pelo teste da comparação a cauda da série \sum \ln n / n^{2} converge; os primeiros termos finitos não afetam a convergência, portanto a série inteira converge. (Alternativamente podia-se usar o teste da integral ou o critério de comparação limite: \lim_{n\to\infty} \dfrac{(\ln n)/n^{2}}{1/n^{3/2}}=0.)
Conclusão: a série converge em x=\tfrac{3}{2}. Além disso, como os termos são positivos, trata-se de convergência absoluta.
Passo 6
Checagem do extremo esquerdo x=\tfrac{1}{2} (x-1=-\tfrac{1}{2}):
Substituindo, o termo geral vira
Para testar convergência, note que a série absoluta correspondente é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}},
que acabamos de ver que converge. Logo a série em x=\tfrac{1}{2} converge absolutamente (portanto converge). Não precisamos usar o teste de Leibniz porque a convergência absoluta já garante a convergência.
Passo 7
Conclusão geral: o raio de convergência é R=\tfrac{1}{2} e o intervalo de convergência, incluindo os extremos (porque ambos convergem absolutemente), é o intervalo fechado
\left[\tfrac{1}{2},\;\tfrac{3}{2}\right].
Resposta
Raio de convergência: \displaystyle R=\tfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: \displaystyle \left[\tfrac{1}{2},\;\tfrac{3}{2}\right]