Ache o raio e o intervalo de convergência das seguinte séries de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} \frac{\ln (n)}{n^{2}}(x-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}\frac{\ln(n)}{n^{2}}(x-1)^{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
a_n = 2^{n}\frac{\ln(n)}{n^{2}}\quad\text{(coeficiente do termo }(x-1)^n\text{)}.
Observação importante: \ln(0) é indefinido, então a soma escrita a partir de n=0 é inconsistente para n=0. Vou interpretar a série como iniciando em n=1, ou seja
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}\frac{\ln(n)}{n^{2}}(x-1)^{n},
que é o entendimento natural deste tipo de exercício. As perguntas são, portanto:
  1. Qual o raio de convergência R?\n2) Qual o intervalo de convergência (centro em x=1), com checagem dos extremos?

Passo 2

Definição e método para achar o raio: para uma série de potências \sum a_n (x-1)^n, o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Explico essa fórmula de forma simples: o teste da raiz (ou raiz n-ésima) diz que a série convergirá para |x-1| tal que \limsup |a_n (x-1)^n|^{1/n}<1. Isso se rearranja para |x-1|<1/\limsup |a_n|^{1/n}, daí o R acima. Vou aplicar isso com a_n=2^{n}\frac{\ln n}{n^{2}}.

Passo 3

Calculemos \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Como \ln n>0 para n\ge 2, podemos escrever (para n grande)
|a_n|^{1/n}=\left(2^{n}\frac{\ln n}{n^{2}}\right)^{1/n} =2\cdot (\ln n)^{1/n}\cdot n^{-2/n}.
Agora vamos achar o limite de cada fator quando n\to\infty:
  • Para (\ln n)^{1/n}: tome logaritmo e observe
\ln\big((\ln n)^{1/n}\big)=\frac{\ln(\ln n)}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
logo (\ln n)^{1/n}\to e^{0}=1.
  • Para n^{-2/n}=e^{-(2\ln n)/n}: note que (2\ln n)/n\to 0, então n^{-2/n}\to e^{0}=1.
Portanto
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=2\cdot 1\cdot 1 = 2.
Aplicando a fórmula do raio,
R=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretação do raio: a série converge ao menos para |x-1|<R=\tfrac{1}{2}. Isso dá o intervalo aberto centrado em 1:
(1-R,\;1+R)=\left(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{3}{2}\right).
Agora precisamos checar a convergência nos extremos x=1\pm \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Checagem do extremo direito x=\tfrac{3}{2} ( x-1=\tfrac{1}{2}):
Substituindo, o termo geral vira
2^{n}\frac{\ln n}{n^{2}}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} =\frac{\ln n}{n^{2}}\quad\text{(para }n\ge 1\text{)}.
Então a série em x=\tfrac{3}{2} é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}.
Vamos verificar convergência. Uma maneira simples é comparar com uma p-série convergente: para n grande, \ln n cresce muito mais devagar que qualquer potência n^\alpha. Em particular existe N tal que para n\ge N vale \ln n \le n^{1/2}. Então para n\ge N,
\frac{\ln n}{n^{2}}\le \frac{n^{1/2}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{3/2}}.
Como \sum 1/n^{3/2} é convergente (p-série com p=3/2>1), pelo teste da comparação a cauda da série \sum \ln n / n^{2} converge; os primeiros termos finitos não afetam a convergência, portanto a série inteira converge. (Alternativamente podia-se usar o teste da integral ou o critério de comparação limite: \lim_{n\to\infty} \dfrac{(\ln n)/n^{2}}{1/n^{3/2}}=0.)
Conclusão: a série converge em x=\tfrac{3}{2}. Além disso, como os termos são positivos, trata-se de convergência absoluta.

Passo 6

Checagem do extremo esquerdo x=\tfrac{1}{2} ( x-1=-\tfrac{1}{2}):
Substituindo, o termo geral vira
2^{n}\frac{\ln n}{n^{2}}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} =(-1)^{n}\frac{\ln n}{n^{2}}.
Então a série em x=\tfrac{1}{2} é
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln n}{n^{2}}.
Para testar convergência, note que a série absoluta correspondente é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}},
que acabamos de ver que converge. Logo a série em x=\tfrac{1}{2} converge absolutamente (portanto converge). Não precisamos usar o teste de Leibniz porque a convergência absoluta já garante a convergência.

Passo 7

Conclusão geral: o raio de convergência é R=\tfrac{1}{2} e o intervalo de convergência, incluindo os extremos (porque ambos convergem absolutemente), é o intervalo fechado
\left[\tfrac{1}{2},\;\tfrac{3}{2}\right].

Resposta

Raio de convergência: \displaystyle R=\tfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: \displaystyle \left[\tfrac{1}{2},\;\tfrac{3}{2}\right]

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