Ache o raio e o intervalo de convergência das seguinte séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede: achar o raio e o intervalo de convergência da série de potências
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A soma é
. - Observação técnica:
não está definido para (pois é indefinido). Vou assumir que a série começa em , ou seja consideraremos . Esta é uma hipótese natural e razoável para que a série faça sentido. - Assim, os coeficientes da série são
para . - O que se pede explicitamente: o raio de convergência
e o intervalo (ou conjunto) de valores reais para os quais a série converge.
Passo 2
Escolha do método para encontrar o raio de convergência e por quê.
Explicação didática do método: para uma série de potências
o raio de convergência
é dado pela fórmula
O que isso significa:
é a enésima raiz do módulo do coeficiente; o
captura o comportamento assintótico superior dessa enésima raiz. Se
, então a série converge para
e diverge para
. Este é um método padrão (teste da raiz) e é prático quando conhecemos o comportamento de
quando
.
Vou aplicar essa fórmula com
. A escolha é natural porque precisamos do comportamento assintótico de
e essa sequência tem um limite simples quando
.
Passo 3
Estudo do comportamento de
quando
.
Fato importante (fácil):
. Como a função
é contínua, temos
Logo
quando
. Este é o ponto chave: os coeficientes tendem a
, não tendem para zero.
Passo 4
Cálculo de
usando que
.
Intuição: se uma sequência
tende a
e
para
grande, então
. Vamos fazer uma justificativa simples: escrevendo
Como
, temos
. Assim
porque é uma quantidade que tende a
multiplicada por
(de fato já
basta). Portanto
Consequentemente
Passo 5
Conclusão sobre o raio de convergência
.
Aplicando a fórmula do Passo 2,
Portanto o raio de convergência é
.
Pequeno reforço didático: intuitivamente, como
se aproxima de
, a série se comporta, para fins de convergência, como a série geométrica
, que tem raio
.
Passo 6
Análise da convergência nos pontos da fronteira:
e
.
Primeiro
: a série fica
Para uma série convergir, é necessário (condição necessária) que o termo geral tenda a zero. Mas
portanto o termo geral não tende a zero e a série diverge por divergência do termo geral. Assim, a série diverge em
.
Segundo
: a série fica
Novamente, o termo geral é
. Para que a série convirja (mesmo condicionalmente), é necessário que o termo geral tenda a zero. Mas
não existe como um único número porque
e
oscila entre
. Em particular o módulo dos termos é
, ou seja os termos não tendem a zero. Logo a série diverge também em
.
Conclusão: ambos os pontos extremos
não pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 7
Síntese final do intervalo de convergência.
Como o raio é
e a série diverge em
e em
, o conjunto de convergência real é o intervalo aberto
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: