Ache o raio e o intervalo de convergência das seguinte séries de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \cos \left(\frac{1}{n}\right) x^{n}

Passo 1

O enunciado pede: achar o raio e o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right) x^{n}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A soma é \sum_{n=0}^{\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right) x^{n}.
  • Observação técnica: \cos\!\left(\frac{1}{n}\right) não está definido para n=0 (pois \frac{1}{0} é indefinido). Vou assumir que a série começa em n=1, ou seja consideraremos \sum_{n=1}^{\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right) x^{n}. Esta é uma hipótese natural e razoável para que a série faça sentido.
  • Assim, os coeficientes da série são a_{n}=\cos\!\left(\frac{1}{n}\right) para n\ge 1.
  • O que se pede explicitamente: o raio de convergência R e o intervalo (ou conjunto) de valores reais x para os quais a série converge.

Passo 2

Escolha do método para encontrar o raio de convergência e por quê.
Explicação didática do método: para uma série de potências \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} o raio de convergência R é dado pela fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}}.
O que isso significa: \sqrt[n]{|a_{n}|} é a enésima raiz do módulo do coeficiente; o \limsup captura o comportamento assintótico superior dessa enésima raiz. Se \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}=L, então a série converge para |x|<1/L e diverge para |x|>1/L. Este é um método padrão (teste da raiz) e é prático quando conhecemos o comportamento de a_{n} quando n\to\infty.
Vou aplicar essa fórmula com a_{n}=\cos\!\left(\frac{1}{n}\right). A escolha é natural porque precisamos do comportamento assintótico de a_{n} e essa sequência tem um limite simples quando n\to\infty.

Passo 3

Estudo do comportamento de a_{n}=\cos\!\left(\frac{1}{n}\right) quando n\to\infty.
Fato importante (fácil): \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0. Como a função \cos é contínua, temos
\lim_{n\to\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right)=\cos(0)=1.
Logo a_{n}\to 1 quando n\to\infty. Este é o ponto chave: os coeficientes tendem a 1, não tendem para zero.

Passo 4

Cálculo de \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} usando que a_{n}\to 1.
Intuição: se uma sequência b_{n} tende a 1 e b_{n}>0 para n grande, então \sqrt[n]{b_{n}}\to 1. Vamos fazer uma justificativa simples: escrevendo
\sqrt[n]{|a_{n}|}=\exp\!\left(\frac{1}{n}\ln|a_{n}|\right).
Como a_{n}\to 1, temos \ln|a_{n}|\to \ln 1=0. Assim \frac{1}{n}\ln|a_{n}|\to 0 porque é uma quantidade que tende a 0 multiplicada por \frac{1}{n} (de fato já \ln|a_{n}|\to 0 basta). Portanto
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}=\exp(0)=1.
Consequentemente
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}=1.

Passo 5

Conclusão sobre o raio de convergência R.
Aplicando a fórmula do Passo 2,
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}}=\frac{1}{1}=1.
Portanto o raio de convergência é R=1.
Pequeno reforço didático: intuitivamente, como a_{n} se aproxima de 1, a série se comporta, para fins de convergência, como a série geométrica \sum x^{n}, que tem raio 1.

Passo 6

Análise da convergência nos pontos da fronteira: x=1 e x=-1.
Primeiro x=1: a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right).
Para uma série convergir, é necessário (condição necessária) que o termo geral tenda a zero. Mas
\lim_{n\to\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right)=1\neq 0,
portanto o termo geral não tende a zero e a série diverge por divergência do termo geral. Assim, a série diverge em x=1.
Segundo x=-1: a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\cos\!\left(\frac{1}{n}\right).
Novamente, o termo geral é (-1)^{n}\cos\!\left(\frac{1}{n}\right). Para que a série convirja (mesmo condicionalmente), é necessário que o termo geral tenda a zero. Mas
\lim_{n\to\infty} (-1)^{n}\cos\!\left(\frac{1}{n}\right)
não existe como um único número porque \cos\!\left(\frac{1}{n}\right)\to 1 e (-1)^{n} oscila entre \pm 1. Em particular o módulo dos termos é \cos\!\left(\frac{1}{n}\right)\to 1, ou seja os termos não tendem a zero. Logo a série diverge também em x=-1.
Conclusão: ambos os pontos extremos \pm 1 não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 7

Síntese final do intervalo de convergência.
Como o raio é R=1 e a série diverge em x=1 e em x=-1, o conjunto de convergência real é o intervalo aberto
(-1,1).

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: (-1,1)

Exercícios relacionados