Questão 6([3])
Encontre o campo elétrico (magnitude e direção) a uma distância
acima do ponto médio entre duas cargas iguais e opostas
, separadas por uma distância
(igual ao exercício 6), exceto que a carga em
é
).
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o campo elétrico (magnitude e direção) no ponto localizado a uma distância
acima do ponto médio entre duas cargas iguais e opostas
separadas por uma distância
. A situação específica é que a carga em
é
e, portanto, em
está
. O ponto onde queremos o campo está sobre o eixo perpendicular que passa pelo ponto médio, a uma distância
acima dele.
Informações dadas:
- Cargas:
em e em . - Separação entre cargas:
. - Ponto de interesse: posição
(distância acima do ponto médio). - Objetivo: calcular o vetor campo elétrico
naquele ponto, e fornecer sua magnitude e direção.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e escrever a expressão fundamental para o campo de uma carga pontual.
Vou colocar as cargas no eixo
:
-
em . -
em .
O ponto onde calculamos o campo é.
A fórmula vetorial do campo elétrico produzido por uma carga pontual
em posição
, no ponto
, é a lei de Coulomb:
Aqui
é a permissividade do vácuo; o vetor
aponta da carga até o ponto onde se calcula
.
Passo 3
Calcular os vetores deslocamento da cada carga até o ponto e as respectivas distâncias.
Vetor do primeiro carregamento (
) até o ponto:
Vetor do segundo carregamento (
) até o ponto:
O comprimento (mesma para ambos) é
Passo 4
Escrever o campo produzido por cada carga usando a fórmula de Coulomb e decompor em componentes.
Definindo
, os campos individuais são
Agora extraio as componentes
e
(note que
é zero por simetria). Para
e
:
- Componente
de :
- Componente
de :
Portanto as componentes
somam:
- Componente
de :
- Componente
de :
Essas componentes
cancelam exatamente:
Passo 5
Somar vetorialmente para obter o campo total e interpretar direção.
Como
e
, o campo total no ponto é puramente na direção
:
onde
é o versor no sentido positivo do eixo
(do ponto médio em direção à carga que está em
) e
Fisicamente: o campo aponta no sentido positivo de
, ou seja, em direção à carga negativa localizada em
. Isso faz sentido porque o campo resultante aponta do lado do test-charge para a carga negativa.
Passo 6
Escrever a expressão final de forma explícita e mostrar a magnitude.
Substituindo
e
:
A magnitude é
Uma observação útil para prova: se
(ponto muito longe), pode aproximar
, então
que é o campo de um dipolo com momento
no plano perpendicular ao dipolo (comportamento em
).
Resposta
Direção: no sentido positivo de