Questão 6([3])

Encontre o campo elétrico (magnitude e direção) a uma distância z acima do ponto médio entre duas cargas iguais e opostas ( \pm q), separadas por uma distância d (igual ao exercício 6), exceto que a carga em x=+d / 2 é -q ).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o campo elétrico (magnitude e direção) no ponto localizado a uma distância z acima do ponto médio entre duas cargas iguais e opostas (\pm q) separadas por uma distância d. A situação específica é que a carga em x=+d/2 é -q e, portanto, em x=-d/2 está +q. O ponto onde queremos o campo está sobre o eixo perpendicular que passa pelo ponto médio, a uma distância z acima dele.
Informações dadas:
  • Cargas: +q em x=-d/2 e -q em x=+d/2.
  • Separação entre cargas: d.
  • Ponto de interesse: posição (0,0,z) (distância z acima do ponto médio).
  • Objetivo: calcular o vetor campo elétrico \mathbf{E} naquele ponto, e fornecer sua magnitude e direção.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e escrever a expressão fundamental para o campo de uma carga pontual.
Vou colocar as cargas no eixo x:
  • q_1 = +q em \mathbf{r}_1 = \bigl(-\tfrac{d}{2},0,0\bigr).
  • q_2 = -q em \mathbf{r}_2 = \bigl(+\tfrac{d}{2},0,0\bigr).
    O ponto onde calculamos o campo é \mathbf{r}=(0,0,z).
A fórmula vetorial do campo elétrico produzido por uma carga pontual q em posição \mathbf{r}', no ponto \mathbf{r}, é a lei de Coulomb:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\, q\,\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}.
Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo; o vetor \mathbf{r}-\mathbf{r}' aponta da carga até o ponto onde se calcula \mathbf{E}.

Passo 3

Calcular os vetores deslocamento da cada carga até o ponto e as respectivas distâncias.
Vetor do primeiro carregamento ( +q) até o ponto:
\mathbf{R}_1=\mathbf{r}-\mathbf{r}_1 = \bigl(0-(-\tfrac{d}{2}),\,0-0,\,z-0\bigr) = \bigl(\tfrac{d}{2},\,0,\,z\bigr).
Vetor do segundo carregamento ( -q) até o ponto:
\mathbf{R}_2=\mathbf{r}-\mathbf{r}_2 = \bigl(0-\tfrac{d}{2},\,0,\,z\bigr) = \bigl(-\tfrac{d}{2},\,0,\,z\bigr).
O comprimento (mesma para ambos) é
R \equiv |\mathbf{R}_1| = |\mathbf{R}_2| = \sqrt{\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 + z^2}.

Passo 4

Escrever o campo produzido por cada carga usando a fórmula de Coulomb e decompor em componentes.
Definindo k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}, os campos individuais são
\mathbf{E}_1 = k\,q\,\dfrac{\mathbf{R}_1}{R^3} \qquad\text{e}\qquad \mathbf{E}_2 = k\,(-q)\,\dfrac{\mathbf{R}_2}{R^3}.
Agora extraio as componentes x e z (note que y é zero por simetria). Para \mathbf{R}_1=(\tfrac{d}{2},0,z) e \mathbf{R}_2=(-\tfrac{d}{2},0,z):
  • Componente x de \mathbf{E}_1:
E_{1x} = k\,q\,\dfrac{\tfrac{d}{2}}{R^3}.
  • Componente x de \mathbf{E}_2:
E_{2x} = k\,(-q)\,\dfrac{-\tfrac{d}{2}}{R^3} = k\,q\,\dfrac{\tfrac{d}{2}}{R^3}.
Portanto as componentes x somam:
E_x = E_{1x}+E_{2x} = k\,q\,\dfrac{\tfrac{d}{2}}{R^3} + k\,q\,\dfrac{\tfrac{d}{2}}{R^3} = k\,q\,\dfrac{d}{R^3}.
  • Componente z de \mathbf{E}_1:
E_{1z} = k\,q\,\dfrac{z}{R^3}.
  • Componente z de \mathbf{E}_2:
E_{2z} = k\,(-q)\,\dfrac{z}{R^3} = -k\,q\,\dfrac{z}{R^3}.
Essas componentes z cancelam exatamente:
E_z = E_{1z}+E_{2z} = 0.

Passo 5

Somar vetorialmente para obter o campo total e interpretar direção.
Como E_z=0 e E_x = k\,q\,\dfrac{d}{R^3}, o campo total no ponto é puramente na direção x:
\mathbf{E} = E_x\,\hat{\mathbf{x}} = k\,q\,\dfrac{d}{R^3}\,\hat{\mathbf{x}},
onde \hat{\mathbf{x}} é o versor no sentido positivo do eixo x (do ponto médio em direção à carga que está em x=+d/2) e
R = \sqrt{\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 + z^2}.
Fisicamente: o campo aponta no sentido positivo de x, ou seja, em direção à carga negativa localizada em x=+d/2. Isso faz sentido porque o campo resultante aponta do lado do test-charge para a carga negativa.

Passo 6

Escrever a expressão final de forma explícita e mostrar a magnitude.
Substituindo k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} e R:
\mathbf{E}(\,0,0,z\,) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q\,d}{\bigl[\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 + z^2\bigr]^{3/2}}\,\hat{\mathbf{x}}.
A magnitude é
E = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q\,d}{\bigl[\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 + z^2\bigr]^{3/2}}.
Uma observação útil para prova: se z\gg d (ponto muito longe), pode aproximar \bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2+z^2\approx z^2, então
E \approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q d}{z^3},
que é o campo de um dipolo com momento \mathbf{p}=q d\,\hat{\mathbf{x}} no plano perpendicular ao dipolo (comportamento em 1/z^3).

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q\,d}{\bigl[\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2+z^2\bigr]^{3/2}}\,\hat{\mathbf{x}}
Direção: no sentido positivo de x (ou seja, em direção à carga -q em x=+d/2).

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