Uma esfera isolante de raio
está eletrizada com cargas positivas de modo que a densidade volumétrica de cargas é dada pela função
, onde
é uma constante positiva e
é a distância medida a partir do centro da esfera. Determine o potencial elétrico em qualquer região do espaço, usando como referência
para
, para o potencial fora da esfera, e o potencial na superfície da esfera para determinar o potencial dentro da esfera.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera isolante de raio
com densidade volumétrica de carga
onde
é constante e
é a distância ao centro. Fora da esfera (
) não há carga. O referencial é
.
O que nos pedem:
- Determinar o potencial elétrico para
(fora da esfera). - Calcular o potencial na superfície
. - Usar o potencial da superfície para encontrar o potencial dentro da esfera (
).
Lista das informações relevantes: -
para . -
para . - Condição de referência:
.
Passo 2
Estratégia (explicada devagar): para uma distribuição esférica com densidade que depende só de
usamos a Lei de Gauss para achar o campo elétrico
. Depois usamos a relação entre potencial e campo elétrico:
escolhendo
e
para obter
com a condição
.
Primeiro precisamos do total de carga contida em uma esfera de raio qualquer
. Definição e cálculo do carregamento interno:
Substituindo
:
Calcule a integral passo a passo:
Portanto
Em particular, a carga total da esfera é
Passo 3
Agora aplicamos a Lei de Gauss para obter o módulo do campo elétrico. Para simetria esférica, em uma superfície esférica de raio
vale
Caso
(ponto dentro da esfera): use
. Logo
Direção: radial para fora.
Caso
(fora da esfera): toda a carga está concentrada efetivamente no centro (efeito de campo externo para simetria esférica), então
Passo 4
Relação entre
e
: para campo radial
temos
Comecemos por
. Substitua
. Calcule a integral:
Detalhe do passo de integração:
. Avaliando entre
e
dá
. Assim
Passo 5
Potencial na superfície
: plugando
em
:
Passo 6
Agora determinamos
para
. Usamos continuidade do potencial e escrevemos
Substitua
e calcule a integral:
Portanto
Substituindo
e simplificando:
Verificação rápida: para
obtemos
(consistente) e para
o potencial é finito:
Passo 7
Resumo físico e checagens:
- O campo externo decai como
, então o potencial externo decai como e satisfaz . - O potencial é contínuo em
e finito em (o que é esperado para uma distribuição de carga volumétrica regular). - Todas as expressões dependem apenas de
, e .