Um dipolo elétrico é formado por duas cargas 2 q e -2 q, separadas por uma distância d e localizadas nas posições \mathrm{A}(1,3,3) e \mathrm{B}(-1,-2,1), respectivamente. Considere q=3,2.10^{-6} \mathrm{C}. O dipolo está num campo elétrico uniforme dado por \vec{E}=-1,0 \hat{i}+2,0 \hat{j}+3,0 \hat{k}. Determine a energia potencial elétrica do dipolo elétrico.

Passo 1

O enunciado pede a energia potencial elétrica do dipolo formado por duas cargas +2q e -2q localizadas em \mathrm{A}(1,3,3) e \mathrm{B}(-1,-2,1), respectivamente, no campo uniforme
\vec{E} = -1{,}0\,\hat{i} + 2{,}0\,\hat{j} + 3{,}0\,\hat{k}.
Dados fornecidos:
  • q = 3{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • carga +2q em \mathrm{A}(1,3,3).
  • carga -2q em \mathrm{B}(-1,-2,1).
    O que se quer: a energia potencial elétrica U do dipolo no campo uniforme \vec{E}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando com calma):
  • Dipolo elétrico discreto: para duas cargas -Q em \vec{r}_- e +Q em \vec{r}_+ define-se o momento de dipolo como
\vec{p} = Q\bigl(\vec{r}_+ - \vec{r}_-\bigr).
Essa definição faz \vec{p} apontar da carga negativa para a positiva. No nosso caso Q=2q, \vec{r}_+ = \vec{r}_A e \vec{r}_- = \vec{r}_B.
  • Energia potencial de um dipolo em campo elétrico uniforme:
U = -\,\vec{p}\cdot\vec{E}.
Explicando o produto escalar (dot product): se \vec{p}=(p_x,p_y,p_z) e \vec{E}=(E_x,E_y,E_z), então
\vec{p}\cdot\vec{E}=p_xE_x+p_yE_y+p_zE_z.
Unidades: \vec{p} tem unidade \mathrm{C\cdot m}, \vec{E} tem unidade \mathrm{N/C} (ou \mathrm{V/m}), e U vem em joules \mathrm{J}.

Passo 3

Calcular o vetor diferença das posições \vec{r}_A-\vec{r}_B. As coordenadas são:
\vec{r}_A = (1,\,3,\,3),\qquad \vec{r}_B = (-1,\,-2,\,1).
Subtraindo componente a componente:
\vec{r}_A-\vec{r}_B = (1-(-1),\;3-(-2),\;3-1) = (2,\;5,\;2).

Passo 4

Calcular o momento de dipolo \vec{p}=2q(\vec{r}_A-\vec{r}_B).
Primeiro escrito simbólico:
\vec{p}=2q\,(2,\,5,\,2) = (4q,\,10q,\,4q).
Agora inserir o valor numérico de q=3{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e calcular cada componente:
p_x = 4q = 4\cdot 3{,}2\times10^{-6}=12{,}8\times10^{-6}=1{,}28\times10^{-5}\\ \mathrm{C\cdot m},
p_y = 10q = 10\cdot 3{,}2\times10^{-6}=32{,}0\times10^{-6}=3{,}20\times10^{-5}\\ \mathrm{C\cdot m},
p_z = 4q = 1{,}28\times10^{-5}\\ \mathrm{C\cdot m}.
Logo
\vec{p} = \bigl(1{,}28\times10^{-5},\;3{,}20\times10^{-5},\;1{,}28\times10^{-5}\bigr)\\ \mathrm{C\cdot m}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{p}\cdot\vec{E}. Recordando \vec{E}=(-1{,}0,\,2{,}0,\,3{,}0):
Calcule cada termo:
p_xE_x = 1{,}28\times10^{-5}\cdot(-1{,}0) = -1{,}28\times10^{-5},
p_yE_y = 3{,}20\times10^{-5}\cdot 2{,}0 = 6{,}40\times10^{-5},
p_zE_z = 1{,}28\times10^{-5}\cdot 3{,}0 = 3{,}84\times10^{-5}.
Somando:
\vec{p}\cdot\vec{E} = -1{,}28\times10^{-5} + 6{,}40\times10^{-5} + 3{,}84\times10^{-5}.
Fazendo a soma passo a passo:
6{,}40\times10^{-5} + 3{,}84\times10^{-5} = 10{,}24\times10^{-5},
10{,}24\times10^{-5} - 1{,}28\times10^{-5} = 8{,}96\times10^{-5}.
Portanto
\vec{p}\cdot\vec{E} = 8{,}96\times10^{-5}\\ \text{(em unidades de J, antes do sinal)}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da energia U=-\vec{p}\cdot\vec{E}:
U = -\,8{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
Interpretação curta: o produto escalar deu positivo, então U ficou negativo — isso significa que a orientação do momento de dipolo tende a reduzir a energia ao alinhar-se com o campo (situação energeticamente favorável). Força e torque não foram pedidos, então paramos aqui.

Resposta

-8{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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