e faça o que se pede, considerando que seus autovalores são 5 e 2 (não é preciso verificar este fato).
(a) Descreva explicitamente cada autoespaço, ou seja, como o SEV gerado por um conjunto de vetores, e dê uma base ortogonal para cada um deles;
(b) Dê uma base ortonormal B para \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A;
(c) Dê uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D semelhante a A tais que A Q=Q D, indicando claramente as matrizes;
e diz que os autovalores de A são 5 e 2 (não é preciso verificar isso). O que é pedido:
(a) Descrever explicitamente cada autoespaço (isto é, escrever cada subespaço próprio como um SEV gerado por vetores) e dar uma base ortogonal para cada um deles.
(b) Dar uma base ortonormal B de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A.
(c) Dar uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D semelhante a A tal que A Q = Q D, indicando as matrizes.
Informações úteis que já se seguem do enunciado e que vou usar: os autovalores são \;5 e \;2. Como \operatorname{tr}(A)=9, isso sugere a multiplicidade algébrica de 5 é 1 e de 2 é 2 (pois 5+2+2=9). Portanto espero um autoespaço de dimensão 1 para \lambda=5 e dimensão 2 para \lambda=2.
Note que somando as duas primeiras equações obtém-se -x_1 - x_2 -2x_3=0\], que é exatamente a terceira, então há apenas duas equações independentes. A partir da primeira:
\[x_2 = 2x_1 + x_3.\]
Substituo na segunda:
\[x_1 -2(2x_1 + x_3) - x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad -3x_1 -3x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -x_3.\]
Com \(x_1=-x_3 vem x_2 = 2(-x_3) + x_3 = -x_3. Assim
(x_1,x_2,x_3)=(-x_3,-x_3,x_3)=x_3(-1,-1,1).
Multiplicando por -1 para ficar mais simpático, um autovetor é (1,1,-1). Portanto o autoespaço associado a \lambda=5 é
E_{5}=\{t(1,1,-1):t\in\mathbb{R}\}.
Como é um espaço unidimensional, uma base ortogonal é simplesmente \{(1,1,-1)\} (vetores num espaço de dimensão 1 são automaticamente ortogonais entre si).]
Logo o autoespaço tem dimensão 2\] e pode ser descrito como
\[E_{2}=\{(x_1,x_2,x_1+x_2):x_1,x_2\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.\]
Portanto uma base (não necessariamente ortogonal) de \(E_2 é \{\,u_1=(1,0,1),\;u_2=(0,1,1)\,\}.]
Passo 4
Construir uma base ortogonal para E_2 usando Gram–Schmidt (porque o professor pediu base ortogonal). Vou aplicar Gram–Schmidt aos vetores u_1=(1,0,1) e u_2=(0,1,1).
Multiplicando v_2 por 2 para obter coordenadas inteiras, tomo w_2 = 2v_2 = (-1,2,1). Verifico que u_1\cdot w_2=1\cdot(-1)+0\cdot2+1\cdot1=0, portanto u_1 e w_2 são ortogonais. Ambos pertencem a E_2 (verifica-se 1+0=1 e -1+2=1 para as componentes), então uma base ortogonal de E_2 é
\{(1,0,1),\;(-1,2,1)\}.
Passo 5
Resumo das bases ortogonais dos autoespaços (resposta à parte (a)):
Para \lambda=5:E_5=\{t(1,1,-1):t\in\mathbb{R}\},\qquad\text{base ortogonal: }\{(1,1,-1)\}.
Para \lambda=2:E_2=\{s(1,0,1)+t(0,1,1):s,t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\},e uma base ortogonal é \{(1,0,1),\,(-1,2,1)\}.
Agora vou usar essas bases ortogonais para construir uma base ortonormal completa de \mathbb{R}^3.
Passo 6
Ortonormalizar (normalizar) os vetores ortogonais encontrados para formar uma base ortonormal B.
Eles são mutuamente ortogonais e de norma 1, logo formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 constituída por autovetores de A. Isso responde (b).
Passo 7
Construir a matriz Q e a matriz diagonal D (resposta à parte (c)). Tomando as colunas de Q iguais a q_1,q_2,q_3 na mesma ordem em que coloco os autovalores em D, e escolhendo a ordem \lambda_1=5,\;\lambda_2=2,\;\lambda_3=2, obtenho
Por construção A q_1 = 5 q_1 e A q_j = 2 q_j para j=2,3, então a igualdade matricial A Q = Q D vale, e como Q é ortonormal temos Q^{-1}=Q^{T} e Q^{T} A Q = D. Isso responde (c).]
Resposta
(a) E_{5}=\{t(1,1,-1):t\in\mathbb{R}\}, base ortogonal: \{(1,1,-1)\}.\nE_{2}=\{s(1,0,1)+t(0,1,1):s,t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}, base ortogonal: \{(1,0,1),\,(-1,2,1)\}.\n(b) Base ortonormal B=\left\{\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1),\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1),\;\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,1)\,\right\}.\n(c)