Questão 1 [3.5 pontos] Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & -1 \\\\ -1 & -1 & 3 \end{array}\right]
e faça o que se pede, considerando que seus autovalores são 5 e 2 (não é preciso verificar este fato).
(a) Descreva explicitamente cada autoespaço, ou seja, como o SEV gerado por um conjunto de vetores, e dê uma base ortogonal para cada um deles;
(b) Dê uma base ortonormal B para \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A;
(c) Dê uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D semelhante a A tais que A Q=Q D, indicando claramente as matrizes;

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & -1 \\\\ -1 & -1 & 3 \end{array}\right]
e diz que os autovalores de A são 5 e 2 (não é preciso verificar isso). O que é pedido:
(a) Descrever explicitamente cada autoespaço (isto é, escrever cada subespaço próprio como um SEV gerado por vetores) e dar uma base ortogonal para cada um deles.
(b) Dar uma base ortonormal B de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A.
(c) Dar uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D semelhante a A tal que A Q = Q D, indicando as matrizes.
Informações úteis que já se seguem do enunciado e que vou usar: os autovalores são \;5 e \;2. Como \operatorname{tr}(A)=9, isso sugere a multiplicidade algébrica de 5 é 1 e de 2 é 2 (pois 5+2+2=9). Portanto espero um autoespaço de dimensão 1 para \lambda=5 e dimensão 2 para \lambda=2.

Passo 2

Encontrar o autoespaço relativo a \lambda=5\). Vou resolver \((A-5I)x=0\). Primeiro escrevo \(A-5I\): \[A-5I=\left[\begin{array}{rrr} 3-5 & 1 & -1\\\\ 1 & 3-5 & -1\\\\ -1 & -1 & 3-5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ -1 & -1 & -2 \end{array}\right].
Escrevo as equações para x=(x_1,x_2,x_3):
\begin{cases} -2x_1 + x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] x_1 -2x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] - x_1 - x_2 -2x_3 = 0. \end{cases}
Note que somando as duas primeiras equações obtém-se -x_1 - x_2 -2x_3=0\], que é exatamente a terceira, então há apenas duas equações independentes. A partir da primeira: \[x_2 = 2x_1 + x_3.\] Substituo na segunda: \[x_1 -2(2x_1 + x_3) - x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad -3x_1 -3x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -x_3.\] Com \(x_1=-x_3 vem x_2 = 2(-x_3) + x_3 = -x_3. Assim
(x_1,x_2,x_3)=(-x_3,-x_3,x_3)=x_3(-1,-1,1).
Multiplicando por -1 para ficar mais simpático, um autovetor é (1,1,-1). Portanto o autoespaço associado a \lambda=5 é
E_{5}=\{t(1,1,-1):t\in\mathbb{R}\}.
Como é um espaço unidimensional, uma base ortogonal é simplesmente \{(1,1,-1)\} (vetores num espaço de dimensão 1 são automaticamente ortogonais entre si).]

Passo 3

Encontrar o autoespaço relativo a \lambda=2\). Resolvo \((A-2I)x=0\). Calculo \[A-2I=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right].
As equações para x=(x_1,x_2,x_3) são
\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] x_1 + x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] - x_1 - x_2 + x_3 = 0, \end{cases}
ou seja, todas equivalentes à mesma relação
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_3 = x_1 + x_2.
Logo o autoespaço tem dimensão 2\] e pode ser descrito como \[E_{2}=\{(x_1,x_2,x_1+x_2):x_1,x_2\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.\] Portanto uma base (não necessariamente ortogonal) de \(E_2 é \{\,u_1=(1,0,1),\;u_2=(0,1,1)\,\}.]

Passo 4

Construir uma base ortogonal para E_2 usando Gram–Schmidt (porque o professor pediu base ortogonal). Vou aplicar Gram–Schmidt aos vetores u_1=(1,0,1) e u_2=(0,1,1).
Primeiro produto interno (produto escalar usual):
u_1\cdot u_1 = 1^2+0^2+1^2 = 2,\qquad u_1\cdot u_2 = 1\cdot0+0\cdot1+1\cdot1 = 1.
A projeção de u_2 sobre u_1 é
\operatorname{proj}_{u_1}u_2=\frac{u_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1=\frac{1}{2}\,u_1=\frac{1}{2}(1,0,1)=\left(\tfrac12,0,\tfrac12\right).
Então o vetor ortogonal a u_1 é
v_2 = u_2-\operatorname{proj}_{u_1}u_2 = \left(0,1,1\right)-\left(\tfrac12,0,\tfrac12\right)=\left(-\tfrac12,1,\tfrac12\right).
Multiplicando v_2 por 2 para obter coordenadas inteiras, tomo w_2 = 2v_2 = (-1,2,1). Verifico que u_1\cdot w_2=1\cdot(-1)+0\cdot2+1\cdot1=0, portanto u_1 e w_2 são ortogonais. Ambos pertencem a E_2 (verifica-se 1+0=1 e -1+2=1 para as componentes), então uma base ortogonal de E_2 é
\{(1,0,1),\;(-1,2,1)\}.

Passo 5

Resumo das bases ortogonais dos autoespaços (resposta à parte (a)):
  • Para \lambda=5: E_5=\{t(1,1,-1):t\in\mathbb{R}\},\qquad\text{base ortogonal: }\{(1,1,-1)\}.
  • Para \lambda=2: E_2=\{s(1,0,1)+t(0,1,1):s,t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\},e uma base ortogonal é \{(1,0,1),\,(-1,2,1)\}.
Agora vou usar essas bases ortogonais para construir uma base ortonormal completa de \mathbb{R}^3.

Passo 6

Ortonormalizar (normalizar) os vetores ortogonais encontrados para formar uma base ortonormal B.
Calculo normas:
\|(1,1,-1)\|^2 = 1+1+1=3\quad\Rightarrow\quad \|(1,1,-1)\|=\sqrt{3}.
\|(1,0,1)\|^2 = 1+0+1=2\quad\Rightarrow\quad \|(1,0,1)\|=\sqrt{2}.
\|(-1,2,1)\|^2 = 1+4+1=6\quad\Rightarrow\quad \|(-1,2,1)\|=\sqrt{6}.
Portanto os vetores normalizados são
q_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1),\qquad q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1),\qquad q_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,1).
Eles são mutuamente ortogonais e de norma 1, logo formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 constituída por autovetores de A. Isso responde (b).

Passo 7

Construir a matriz Q e a matriz diagonal D (resposta à parte (c)). Tomando as colunas de Q iguais a q_1,q_2,q_3 na mesma ordem em que coloco os autovalores em D, e escolhendo a ordem \lambda_1=5,\;\lambda_2=2,\;\lambda_3=2, obtenho
Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Por construção A q_1 = 5 q_1 e A q_j = 2 q_j para j=2,3, então a igualdade matricial A Q = Q D vale, e como Q é ortonormal temos Q^{-1}=Q^{T} e Q^{T} A Q = D. Isso responde (c).]

Resposta

(a) E_{5}=\{t(1,1,-1):t\in\mathbb{R}\}, base ortogonal: \{(1,1,-1)\}.\n E_{2}=\{s(1,0,1)+t(0,1,1):s,t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}, base ortogonal: \{(1,0,1),\,(-1,2,1)\}.\n(b) Base ortonormal B=\left\{\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1),\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1),\;\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,1)\,\right\}.\n(c)
Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
sendo A Q = Q D e Q ortogonal.]

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