Questão 1 [3 pontos] Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é soma de duas funções:
e . - O objetivo é obter a solução geral
, que será a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Resolvendo a equação quadrática:
portanto as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação rápida: para cada raiz
temos a solução
; com duas raízes distintas combina-se linearmente.)
Passo 3
Escolher uma forma de palpite (método dos coeficientes a determinar) para a solução particular
da equação não-homogênea.
Regra prática: trata-se de escrever um palpite para cada termo do lado direito e somá-los, tomando cuidado com ressonância (quando o palpite coincide com alguma solução da homogênea).
Regra prática: trata-se de escrever um palpite para cada termo do lado direito e somá-los, tomando cuidado com ressonância (quando o palpite coincide com alguma solução da homogênea).
-
Para o termo
: tentar . Antes de aceitar, verificamos se é raiz do polinômio característico. Como não é raiz de , o palpite é adequado. -
Para o termo
: usar o palpite . Isso é padrão para senos e cossenos; verificamos também se seriam raízes do característico — não são — então esse palpite é adequado.
Portanto tentamos
com constantes
a determinar.
Passo 4
Determinar
(parte exponencial). Para
calculamos derivadas:
Substituindo na equação diferencial (apenas a parte relativa a
):
Esse resultado deve igualar a parte correspondente do lado direito, que é
. Assim
Passo 5
Determinar
Substituindo na equação diferencial e agrupando os coeficientes de
e
:
Separando os termos em
e
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
O lado direito tem apenas
, ou seja coeficiente de
é
e coeficiente de
é
. Assim obtemos o sistema linear
Resolver o sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Somando os termos com (C]:
Então
Então
Portanto os coeficientes são
e
.]
Passo 6
Construir a solução particular e a solução geral (esquema). Reunindo as partes:
- Encontramos
, então a parte exponencial particular é . - Encontramos
e , então a parte senoidal particular é .
A solução particular é, portanto,
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea
(Passo 2) com
: