Questão 1 [3 pontos] Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=3 e^{2 t}+2 \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y''-3y'-4y=3e^{2t}+2\sin t.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é soma de duas funções: \;3e^{2t}\; e \;2\sin t\;.
  • O objetivo é obter a solução geral y(t), que será a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea
y''-3y'-4y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{2}-3r-4=0.
Resolvendo a equação quadrática:
r^{2}-3r-4=(r-4)(r+1)=0,
portanto as raízes são r_{1}=4 e r_{2}=-1. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação rápida: para cada raiz r temos a solução e^{rt}; com duas raízes distintas combina-se linearmente.)

Passo 3

Escolher uma forma de palpite (método dos coeficientes a determinar) para a solução particular y_{p} da equação não-homogênea.
Regra prática: trata-se de escrever um palpite para cada termo do lado direito e somá-los, tomando cuidado com ressonância (quando o palpite coincide com alguma solução da homogênea).
  • Para o termo 3e^{2t}: tentar \;y_{p1}=A e^{2t}\;. Antes de aceitar, verificamos se r=2 é raiz do polinômio característico. Como 2 não é raiz de r^{2}-3r-4, o palpite A e^{2t} é adequado.
  • Para o termo 2\sin t: usar o palpite \;y_{p2}=B\cos t + C\sin t\;. Isso é padrão para senos e cossenos; verificamos também se r=\pm i seriam raízes do característico — não são — então esse palpite é adequado.
Portanto tentamos
y_{p}(t)=A e^{2t}+B\cos t + C\sin t,
com constantes A,B,C a determinar.

Passo 4

Determinar A (parte exponencial). Para y_{p1}=A e^{2t} calculamos derivadas:
y_{p1}'=2A e^{2t},\qquad y_{p1}''=4A e^{2t}.
Substituindo na equação diferencial (apenas a parte relativa a e^{2t}):
y_{p1}''-3y_{p1}'-4y_{p1}=(4A-3\cdot 2A-4A)e^{2t}=(4A-6A-4A)e^{2t}=(-6A)e^{2t}.
Esse resultado deve igualar a parte correspondente do lado direito, que é 3e^{2t}. Assim
-6A=3 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Determinar B\) e \(C\) (parte senoidal). Para \(y_{p2}=B\cos t + C\sin t\) calculamos: \[y_{p2}'=-B\sin t + C\cos t,
y_{p2}''=-B\cos t - C\sin t.
Substituindo na equação diferencial e agrupando os coeficientes de \cos t e \sin t:
y_{p2}''-3y_{p2}'-4y_{p2}=(-B\cos -C\sin)-3(-B\sin + C\cos)-4(B\cos + C\sin).
Separando os termos em \cos t e \sin t:
Coeficiente de \cos t:
(-B) -3C -4B = -5B -3C.
Coeficiente de \sin t:
(-C) +3B -4C = 3B -5C.
O lado direito tem apenas 2\sin t, ou seja coeficiente de \cos t é 0 e coeficiente de \sin t é 2. Assim obtemos o sistema linear
\begin{cases} -5B -3C = 0,\\[4pt] 3B -5C = 2. \end{cases}
Resolver o sistema. Da primeira equação:
5B +3C = 0 \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{3}{5}C.
Substituindo na segunda:
3\big(-\tfrac{3}{5}C\big)-5C=2 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{9}{5}C-5C=2.
Somando os termos com (C]:
-\tfrac{9}{5}C-\tfrac{25}{5}C=-\tfrac{34}{5}C=2 \quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac{2\cdot 5}{34}=-\tfrac{10}{34}=-\tfrac{5}{17}.
Então
B=-\tfrac{3}{5}C=-\tfrac{3}{5}\big(-\tfrac{5}{17}\big)=\tfrac{3}{17}.
Portanto os coeficientes são B=\tfrac{3}{17} e C=-\tfrac{5}{17}.]

Passo 6

Construir a solução particular e a solução geral (esquema). Reunindo as partes:
  • Encontramos A=-\tfrac{1}{2}, então a parte exponencial particular é -\tfrac{1}{2}e^{2t}.
  • Encontramos B=\tfrac{3}{17} e C=-\tfrac{5}{17}, então a parte senoidal particular é \tfrac{3}{17}\cos t -\tfrac{5}{17}\sin t.
A solução particular é, portanto,
y_{p}(t)=-\tfrac{1}{2}e^{2t}+\tfrac{3}{17}\cos t -\tfrac{5}{17}\sin t.
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea y_{h} (Passo 2) com y_{p}:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t).

Resposta

y(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{2t}+\tfrac{3}{17}\cos t-\tfrac{5}{17}\sin t

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