Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\ln 2} \int_{1}^{\ln 5} e^{2 x+y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{\ln 2} \int_{1}^{\ln 5} e^{2x+y}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração interior é y, com limites y=1 até y=\ln 5.
  • A variável de integração exterior é x, com limites x=0 até x=\ln 2.
  • A função integranda é e^{2x+y}.

Passo 2

Observação importante sobre integrais iteradas: ao calcular a integral interior \displaystyle\int_{1}^{\ln 5} e^{2x+y}\,dy tratamos x como constante porque estamos integrando em relação a y. Isso permite separar fatores que não dependem de y.
No integrando podemos escrever
e^{2x+y}=e^{2x}\,e^{y},
onde e^{2x} é constante em relação a y.

Passo 3

Calcular a integral interior usando o fato acima:
\int_{1}^{\ln 5} e^{2x+y}\,dy = e^{2x}\int_{1}^{\ln 5} e^{y}\,dy.
A primitiva de e^{y} em y é e^{y}. Portanto,
\int_{1}^{\ln 5} e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}\bigr]_{y=1}^{y=\ln 5}=e^{\ln 5}-e^{1}=5-e.
Logo a integral interior fica
\int_{1}^{\ln 5} e^{2x+y}\,dy = e^{2x}(5-e).

Passo 4

Agora substituímos no integral exterior:
\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}(5-e)\,dx = (5-e)\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx,
pois (5-e) é constante em relação a x.
Para integrar e^{2x} usamos a regra geral \displaystyle\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax} para a\neq0. Aqui a=2, então
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 5

Avaliar a primitiva entre os limites x=0 e x=\ln 2:
(5-e)\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx = (5-e)\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{\ln 2} = \frac{5-e}{2}\bigl(e^{2\ln 2}-e^{0}\bigr).
Usando e^{2\ln 2}=e^{\ln(2^2)}=4 e e^{0}=1, obtemos
\frac{5-e}{2}(4-1)=\frac{5-e}{2}\cdot 3=\frac{3(5-e)}{2}.
Podemos expandir se preferir:
\frac{3(5-e)}{2}=\frac{15-3e}{2}.

Resposta

\dfrac{3(5-e)}{2}

Exercícios relacionados