Questão 3 \alpha
(a) Calcule a derivada de f(x)=x^{5}+x^{3} no ponto a=1

Passo 1

O enunciado pede explicitamente o seguinte:
  • Função dada: f(x)=x^{5}+x^{3}.
  • Ponto onde calcular a derivada: a=1.
  • Pergunta: "Calcule a derivada de f no ponto a=1".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma soma de potências de x: termos x^{5} e x^{3}.
  • O ponto onde queremos o valor da derivada é x=1.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada no ponto. A derivada de uma função f num ponto a é o limite (se existir)
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando cada parte:
  • f'(a) é o número que representa a taxa de variação instantânea de f em x=a.
  • h é um pequeno incremento em x; fazemos h\to 0 para achar a variação instantânea.
  • O quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a razão entre a variação de f e a variação de x (como numa inclinação de uma reta secante). Tomando o limite quando h\to 0 obtemos a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Também é útil lembrar duas propriedades que vamos usar:
  1. Linearidade da derivada: se f(x)=g(x)+h(x) então f'(x)=g'(x)+h'(x). Ou seja, podemos derivar cada termo separadamente e somar.
  2. Para potências inteiras positivas podemos usar a expansão binomial para calcular o limite da definição. Outra alternativa (usualmente utilizada na prova) é a regra de que a derivada de x^{n} é n x^{n-1} para n inteiro positivo. Vou mostrar o cálculo pelo limite para cada termo aqui, porque isso deixa claro de onde vem a regra.

Passo 4

Calcular a derivada de x^{5} no ponto 1 pela definição. Aplicando a definição com f(x)=x^{5} e a=1:
\bigl(x^{5}\bigr)'_{x=1}=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{5}-1^{5}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{5}-1}{h}.
Agora expandimos (1+h)^{5} pela fórmula do binômio de Newton:
(1+h)^{5}=1+5h+10h^{2}+10h^{3}+5h^{4}+h^{5}.
Substituindo na fração:
\frac{(1+h)^{5}-1}{h}=\frac{5h+10h^{2}+10h^{3}+5h^{4}+h^{5}}{h}=5+10h+10h^{2}+5h^{3}+h^{4}.
Fazendo o limite quando h\to 0:
\lim_{h\to 0}\bigl(5+10h+10h^{2}+5h^{3}+h^{4}\bigr)=5.
Portanto a contribuição do termo x^{5} para a derivada em 1 é 5.

Passo 5

Calcular a derivada de x^{3} no ponto 1 pela definição, de modo análogo. Com f(x)=x^{3} e a=1:
\bigl(x^{3}\bigr)'_{x=1}=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{3}-1^{3}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{3}-1}{h}.
Expandindo (1+h)^{3}:
(1+h)^{3}=1+3h+3h^{2}+h^{3}.
Então
\frac{(1+h)^{3}-1}{h}=\frac{3h+3h^{2}+h^{3}}{h}=3+3h+h^{2}.
Fazendo o limite h\to 0:
\lim_{h\to 0}\bigl(3+3h+h^{2}\bigr)=3.
Assim a contribuição do termo x^{3} para a derivada em 1 é 3.

Passo 6

Usando a linearidade (somamos as contribuições dos dois termos), a derivada de f(x)=x^{5}+x^{3} no ponto 1 é a soma das derivadas dos termos:
f'(1)=\bigl(x^{5}\bigr)'_{x=1}+\bigl(x^{3}\bigr)'_{x=1}=5+3.
Portanto o valor é 8.

Passo 7

Para consolidar e mostrar um método que economiza tempo na prova: a regra geral (para potências inteiras positivas) é
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
onde n é um inteiro positivo. Aplicando essa regra diretamente em f(x)=x^{5}+x^{3} obtemos a derivada função
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}.
Avaliando em x=1:
f'(1)=5\cdot 1^{4}+3\cdot 1^{2}=5+3=8.
Esse procedimento é o que normalmente se usa em prova por ser rápido e confiável.

Resposta

8

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