Questão
(a) Calcule a derivada de
no ponto
(a) Calcule a derivada de
Passo 1
O enunciado pede explicitamente o seguinte:
- Função dada:
. - Ponto onde calcular a derivada:
. - Pergunta: "Calcule a derivada de
no ponto ".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é uma soma de potências de
: termos e . - O ponto onde queremos o valor da derivada é
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada no ponto. A derivada de uma função
num ponto
é o limite (se existir)
Explicando cada parte:
-
é o número que representa a taxa de variação instantânea de em . -
é um pequeno incremento em ; fazemos para achar a variação instantânea. - O quociente
é a razão entre a variação de e a variação de (como numa inclinação de uma reta secante). Tomando o limite quando obtemos a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Também é útil lembrar duas propriedades que vamos usar:
- Linearidade da derivada: se
então . Ou seja, podemos derivar cada termo separadamente e somar. - Para potências inteiras positivas podemos usar a expansão binomial para calcular o limite da definição. Outra alternativa (usualmente utilizada na prova) é a regra de que a derivada de
é para inteiro positivo. Vou mostrar o cálculo pelo limite para cada termo aqui, porque isso deixa claro de onde vem a regra.
Passo 4
Calcular a derivada de
no ponto
pela definição. Aplicando a definição com
e
:
Agora expandimos
pela fórmula do binômio de Newton:
Substituindo na fração:
Fazendo o limite quando
:
Portanto a contribuição do termo
para a derivada em
é
.
Passo 5
Calcular a derivada de
no ponto
pela definição, de modo análogo. Com
e
:
Expandindo
:
Então
Fazendo o limite
:
Assim a contribuição do termo
para a derivada em
é
.
Passo 6
Usando a linearidade (somamos as contribuições dos dois termos), a derivada de
no ponto
é a soma das derivadas dos termos:
Portanto o valor é
.
Passo 7
Para consolidar e mostrar um método que economiza tempo na prova: a regra geral (para potências inteiras positivas) é
onde
é um inteiro positivo. Aplicando essa regra diretamente em
obtemos a derivada função
Avaliando em
:
Esse procedimento é o que normalmente se usa em prova por ser rápido e confiável.
Resposta
8