Questão 2. [3 pts.] Identifique e esboce as quádricas cujas equações são (para o esboço, lembre de esboçar os cortes fundamentais separadamente):
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície cuja equação é
O que é pedido:
- Identificar que tipo de quádricas (superfície quadric) essa equação representa.
- Esboçar essa superfície, lembrando de esboçar os cortes fundamentais separadamente (planos
, , e cortes constante).
Passo 2
Primeiro arrumamos a equação numa forma mais clara, apenas reescrevendo os termos:
Note que estamos com
isolado e aparecem dois termos quadráticos em
e
com sinais opostos. Isso já dá uma pista importante: quando duas direções quadráticas têm sinais opostos e a terceira variável (aqui
) aparece isolada de forma linear, a superfície tende a ter aspecto de sela (curvatura positiva em uma direção e negativa na outra).
Passo 3
Vamos comparar com a forma padrão conhecida. A forma canônica de um paraboloide hiperbólico é, por exemplo,
Aqui temos exatamente essa forma com
(logo
) e
(logo
). Portanto a superfície é um paraboloide hiperbólico (também chamado de “sela”). O vértice está em
porque não há termos lineares nem constantes deslocando a superfície.
Passo 4
Agora vamos estudar os cortes fundamentais — isso ajuda muito no esboço. Corte pelo plano
:
Isto é uma parábola no plano
(coordenadas
), com vértice em
e que abre para cima (isto é,
cresce quando
cresce).
Passo 5
Corte pelo plano
:
Isto é também uma parábola, agora no plano
(coordenadas
), com vértice em
mas que abre para baixo (pois o coeficiente de
é negativo).
Passo 6
Corte pelo plano
:
Isso fatoriza como
Portanto o traço em
é um par de retas que se cruzam na origem. Essas retas são as assimptotas das hipérboles que aparecem para
.
Passo 7
Cortes por níveis
(constante):
- Se
: isso é uma hipérbole com eixo transverse na direção (abre ao longo do eixo ); as retas são assimptotas dessa hipérbole. - Se
: isso é uma hipérbole com eixo transverse na direção (abre ao longo do eixo ). - Se
: já vimos que dá o par de retas.
Esses cortes horizontais mostram que, ao “subir” para
, as secções são hipérboles que abrem em
; ao “descer” para
, as hipérboles abrem em
.
Passo 8
Interpretação geométrica e dica prática de esboço (passo a passo para desenhar no papel):
- Desenhe os eixos
, , com vertical. Marque a origem . - No plano
(plano vertical que contém o eixo ), desenhe a parábola com vértice em abrindo para cima. Isso mostra que ao longo da direção a superfície curva para cima. - No plano
(plano vertical que contém o eixo ), desenhe a parábola com vértice em abrindo para baixo. Isso mostra que ao longo da direção a superfície curva para baixo. - No plano horizontal
desenhe as retas ; elas cruzam na origem e são as “passagens” onde a curvatura muda de sinal. - Complete o esboço ligando suavemente as seções: o conjunto forma uma sela — sobe na direção
, desce na direção ; as hipérboles horizontais mudam a orientação conforme muda de sinal. - Para maior precisão, marque umas curvas de nível (hipérboles) para
, usando e como guia de contorno.
Passo 9
Resumo didático curto pra fixar:
- Um coeficiente positivo em
e negativo em com isolado indica curvaturas opostas nas direções e — isso é exatamente a ideia de uma sela. - As parábolas nas seções
e ajudam a visualizar as direções de concavidade; as retas em mostram as assimptotas das hipérboles horizontais.
Resposta
Paraboloide hiperbólico (sela).
Cortes fundamentais: (parábola que abre para cima);
(parábola que abre para baixo);
(par de retas
); para
obtêm-se hipérboles (abrem em
se
, em
se
).
Cortes fundamentais: