Questão 2. [3 pts.] Identifique e esboce as quádricas cujas equações são (para o esboço, lembre de esboçar os cortes fundamentais separadamente):
z=-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície cuja equação é
z=-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}.
O que é pedido:
  1. Identificar que tipo de quádricas (superfície quadric) essa equação representa.
  2. Esboçar essa superfície, lembrando de esboçar os cortes fundamentais separadamente (planos x=0, y=0, z=0 e cortes z= constante).

Passo 2

Primeiro arrumamos a equação numa forma mais clara, apenas reescrevendo os termos:
z=\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}.
Note que estamos com z isolado e aparecem dois termos quadráticos em x e y com sinais opostos. Isso já dá uma pista importante: quando duas direções quadráticas têm sinais opostos e a terceira variável (aqui z) aparece isolada de forma linear, a superfície tende a ter aspecto de sela (curvatura positiva em uma direção e negativa na outra).

Passo 3

Vamos comparar com a forma padrão conhecida. A forma canônica de um paraboloide hiperbólico é, por exemplo,
z=\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}.
Aqui temos exatamente essa forma com a^{2}=4 (logo a=2) e b^{2}=9 (logo b=3). Portanto a superfície é um paraboloide hiperbólico (também chamado de “sela”). O vértice está em (0,0,0) porque não há termos lineares nem constantes deslocando a superfície.

Passo 4

Agora vamos estudar os cortes fundamentais — isso ajuda muito no esboço. Corte pelo plano x=0:
\text{para }x=0:\quad z=\frac{y^{2}}{9}.
Isto é uma parábola no plano x=0 (coordenadas (y,z)), com vértice em (y,z)=(0,0) e que abre para cima (isto é, z cresce quando |y| cresce).

Passo 5

Corte pelo plano y=0:
\text{para }y=0:\quad z=-\frac{x^{2}}{4}.
Isto é também uma parábola, agora no plano y=0 (coordenadas (x,z)), com vértice em (x,z)=(0,0) mas que abre para baixo (pois o coeficiente de x^{2} é negativo).

Passo 6

Corte pelo plano z=0:
\text{para }z=0:\quad \frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=0.
Isso fatoriza como
\frac{y^{2}}{9}=\frac{x^{2}}{4}\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{3}{2}x.
Portanto o traço em z=0 é um par de retas que se cruzam na origem. Essas retas são as assimptotas das hipérboles que aparecem para z\neq 0.

Passo 7

Cortes por níveis z=c (constante):
\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=c.
  • Se c>0: isso é uma hipérbole com eixo transverse na direção y (abre ao longo do eixo y); as retas y=\pm\frac{3}{2}x são assimptotas dessa hipérbole.
  • Se c<0: isso é uma hipérbole com eixo transverse na direção x (abre ao longo do eixo x).
  • Se c=0: já vimos que dá o par de retas.
Esses cortes horizontais mostram que, ao “subir” para z>0, as secções são hipérboles que abrem em y; ao “descer” para z<0, as hipérboles abrem em x.

Passo 8

Interpretação geométrica e dica prática de esboço (passo a passo para desenhar no papel):
  1. Desenhe os eixos x, y, z com z vertical. Marque a origem O(0,0,0).
  2. No plano x=0 (plano vertical que contém o eixo y), desenhe a parábola z=\dfrac{y^{2}}{9} com vértice em O abrindo para cima. Isso mostra que ao longo da direção y a superfície curva para cima.
  3. No plano y=0 (plano vertical que contém o eixo x), desenhe a parábola z=-\dfrac{x^{2}}{4} com vértice em O abrindo para baixo. Isso mostra que ao longo da direção x a superfície curva para baixo.
  4. No plano horizontal z=0 desenhe as retas y=\pm\frac{3}{2}x; elas cruzam na origem e são as “passagens” onde a curvatura muda de sinal.
  5. Complete o esboço ligando suavemente as seções: o conjunto forma uma sela — sobe na direção y, desce na direção x; as hipérboles horizontais mudam a orientação conforme z muda de sinal.
  6. Para maior precisão, marque umas curvas de nível (hipérboles) para z=1, z=-1 usando \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1 e \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=-1 como guia de contorno.

Passo 9

Resumo didático curto pra fixar:
  • Um coeficiente positivo em y^{2} e negativo em x^{2} com z isolado indica curvaturas opostas nas direções x e y — isso é exatamente a ideia de uma sela.
  • As parábolas nas seções x=0 e y=0 ajudam a visualizar as direções de concavidade; as retas em z=0 mostram as assimptotas das hipérboles horizontais.

Resposta

Paraboloide hiperbólico (sela).
Cortes fundamentais: x=0:\; z=\dfrac{y^{2}}{9} (parábola que abre para cima); y=0:\; z=-\dfrac{x^{2}}{4} (parábola que abre para baixo); z=0:\; \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=0 (par de retas y=\pm\frac{3}{2}x); para z=c obtêm-se hipérboles (abrem em y se c>0, em x se c<0).

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