Questão 5. Resolva os sistemas não-homogêneos abaixo,utilize o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado dá o sistema não-homogêneo e pede a solução geral
Informações relevantes que temos: os coeficientes das derivadas formam a matriz constante
e o termo não-homogêneo (vetor constante) é
O que se pede: encontrar a solução geral do sistema, ou seja, todas as funções
que satisfazem as equações acima.]
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma vetorial compacta para facilitar o método:
onde
Estratégia: a solução geral é soma da solução geral do sistema homogêneo
(quando
) mais uma solução particular
do sistema completo. Vou obter
usando autovalores/autovetores de
e
pelo método dos coeficientes indeterminados (aqui uma solução particular constante, pois
é constante).]
Passo 3
Encontrar a solução do sistema homogêneo
. Procuramos autovalores
de
resolvendo
Calculamos o determinante:
Expandindo:
Portanto o polinômio característico é
, e os autovalores são
Passo 4
Encontrar autovetores correspondentes.
Para
resolvemos
, isto é
Da primeira linha temos
. Escolhendo
obtemos o autovetor
Para
resolvemos
, isto é
Da primeira linha
. Escolhendo
obtemos
Passo 5
Escrever a solução geral do homogêneo usando combinações lineares dos autovetores multiplicados por exponenciais:
ou explicitamente
onde
e
são constantes arbitrárias (dados pela condição inicial, se houvesse).]
Passo 6
Agora a parte pedida pelo enunciado: usar o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular
. Como o termo não-homogêneo
é constante, é natural tentar uma solução particular constante:
Substituindo na equação original, a derivada some (
), e obtemos
Escrevendo as componentes:
pois
Passo 7
Resolver o sistema linear para
e
. As equações são
ou rearranjando a segunda:
Da segunda equação temos
. Substituindo na primeira:
Fazendo as operações:
Então
Portanto a solução particular é
Passo 8
Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral:
Escrevendo as componentes separadas (útil para conferir na prova):
Pequena checagem rápida (só para ganhar confiança): substituindo
em
obtemos
como esperado, então
está correta.]