Questão 5. Resolva os sistemas não-homogêneos abaixo,utilize o método dos coeficientes indeterminados.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=2 x+3 y-7 \\\ \frac{d y}{d t}=-x-2 y+5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema não-homogêneo e pede a solução geral x(t)\) e \(y(t)\): \[\begin{cases} \frac{d x}{d t}=2 x+3 y-7,\\[4pt] \frac{d y}{d t}=-x-2 y+5. \end{cases}
Informações relevantes que temos: os coeficientes das derivadas formam a matriz constante
A=\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]-1 & -2\end{pmatrix}
e o termo não-homogêneo (vetor constante) é
b=\begin{pmatrix}-7\\[2pt]5\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a solução geral do sistema, ou seja, todas as funções x(t)\] e \(y(t) que satisfazem as equações acima.]

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma vetorial compacta para facilitar o método:
\mathbf{x}'(t)=A\,\mathbf{x}(t)+\mathbf{b},
onde
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[2pt]y(t)\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]-1 & -2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-7\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Estratégia: a solução geral é soma da solução geral do sistema homogêneo \mathbf{x}_h (quando \mathbf{b}=\mathbf{0}) mais uma solução particular \mathbf{x}_p do sistema completo. Vou obter \mathbf{x}_h usando autovalores/autovetores de A e \mathbf{x}_p pelo método dos coeficientes indeterminados (aqui uma solução particular constante, pois \mathbf{b} é constante).]

Passo 3

Encontrar a solução do sistema homogêneo \mathbf{x}'=A\mathbf{x}. Procuramos autovalores \lambda de A resolvendo
\det(A-\lambda I)=0.
Calculamos o determinante:
\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 3\\[2pt]-1 & -2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-3(-1).
Expandindo:
(2-\lambda)(-2-\lambda)+3=-4-2\lambda+2\lambda+\lambda^2+3=\lambda^2-1.
Portanto o polinômio característico é \lambda^2-1=0, e os autovalores são
\lambda^2-1=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 1.]

Passo 4

Encontrar autovetores correspondentes.
Para \lambda=1 resolvemos (A-I)\mathbf{v}=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}2-1 & 3\\[2pt]-1 & -2-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]-1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha temos v_1+3v_2=0\Rightarrow v_1=-3v_2. Escolhendo v_2=1 obtemos o autovetor
\mathbf{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}2+1 & 3\\[2pt]-1 & -2+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3 & 3\\[2pt]-1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha 3v_1+3v_2=0\Rightarrow v_1=-v_2. Escolhendo v_2=1 obtemos
\mathbf{v}^{(-1)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrever a solução geral do homogêneo usando combinações lineares dos autovetores multiplicados por exponenciais:
\mathbf{x}_h(t)=C_1\,\mathbf{v}^{(1)}e^{t}+C_2\,\mathbf{v}^{(-1)}e^{-t},
ou explicitamente
\mathbf{x}_h(t)=C_1\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\end{pmatrix}e^{t}+C_2\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix}e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (dados pela condição inicial, se houvesse).]

Passo 6

Agora a parte pedida pelo enunciado: usar o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular \mathbf{x}_p. Como o termo não-homogêneo \mathbf{b} é constante, é natural tentar uma solução particular constante:
\mathbf{x}_p=\begin{pmatrix}X_p\\[2pt]Y_p\end{pmatrix}\quad\text{(constantes a determinar).}
Substituindo na equação original, a derivada some ( \mathbf{x}_p'=\mathbf{0}), e obtemos
\mathbf{0}=A\mathbf{x}_p+\mathbf{b}\quad\Longrightarrow\quad A\mathbf{x}_p=-\mathbf{b}.
Escrevendo as componentes:
\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]-1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X_p\\[2pt]Y_p\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\[2pt]-5\end{pmatrix},
pois -\mathbf{b}=-\begin{pmatrix}-7\\[2pt]5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\[2pt]-5\end{pmatrix}.\]

Passo 7

Resolver o sistema linear para X_p e Y_p. As equações são
2X_p+3Y_p=7,
- X_p-2Y_p=-5,
ou rearranjando a segunda:
X_p+2Y_p=5.
Da segunda equação temos X_p=5-2Y_p. Substituindo na primeira:
2(5-2Y_p)+3Y_p=7.
Fazendo as operações:
10-4Y_p+3Y_p=7\quad\Rightarrow\quad 10-Y_p=7\quad\Rightarrow\quad Y_p=3.
Então
X_p=5-2\cdot 3=5-6=-1.
Portanto a solução particular é
\mathbf{x}_p=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral:
\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_h(t)+\mathbf{x}_p=\;C_1\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\end{pmatrix}e^{t}+C_2\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix}e^{-t}+\begin{pmatrix}-1\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Escrevendo as componentes separadas (útil para conferir na prova):
x(t)=-3C_1 e^{t}-C_2 e^{-t}-1,
y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t}+3.
Pequena checagem rápida (só para ganhar confiança): substituindo \mathbf{x}_p em A\mathbf{x}_p+\mathbf{b} obtemos
A\begin{pmatrix}-1\\[2pt]3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-7\\[2pt]5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2(-1)+3(3)\\[2pt]-(-1)-2(3)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-7\\[2pt]5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2+9\\[2pt]1-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-7\\[2pt]5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\[2pt]-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-7\\[2pt]5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix},
como esperado, então \mathbf{x}_p está correta.]

Resposta

x(t)=-3C_1 e^{t}-C_2 e^{-t}-1
y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t}+3

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