O que se pede é encontrar a solução geral X(t), ou seja, a soma da solução geral do sistema homogêneo associado e de uma solução particular do sistema não-homogêneo.]
Passo 2
Primeiro precisamos resolver o sistema homogêneo associado
X'=AX,
pois a solução geral do não-homogêneo será X(t)=X_h(t)+X_p(t). Para resolver o homogêneo usamos autovalores e autovetores de A. Calculamos o polinômio característico:
Agora usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular X_p(t) do sistema não-homogêneo. Observação importante do método: quando g(t) é um vetor cujas entradas são polinômios, tentamos uma solução particular cujas componentes também sejam polinômios de mesmo grau, desde que não haja “ressonância” com as soluções do homogêneo (ressonância ocorreria se expoentes semelhantes aparecessem — aqui o homogêneo tem exponenciais e^{4t} e e^{-2t}, não polinômios, então não há ressonância). Como g_1(t)=-2t^2 tem grau 2 e g_2(t)=t+5 tem grau 1, a escolha segura é tentar polinômios de grau 2 para ambas as componentes. Assim propomos:
X_p(t)=\begin{pmatrix}a t^{2}+b t + c\\[4pt] d t^{2}+e t + f\end{pmatrix},
onde a,b,c,d,e,f são coeficientes desconhecidos a determinar.]
Passo 6
Calculamos a derivada e AX_p. A derivada é
X_p'(t)=\begin{pmatrix}2a t + b\\[4pt]2d t + e\end{pmatrix}.
Multiplicando A X_p:
A X_p=\begin{pmatrix} (a t^{2}+b t + c)+3(d t^{2}+e t + f)\\[6pt] 3(a t^{2}+b t + c)+(d t^{2}+e t + f) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (a+3d)t^{2}+(b+3e)t+(c+3f)\\[6pt] (3a+d)t^{2}+(3b+e)t+(3c+f) \end{pmatrix}.]
Passo 7
A equação X_p'=AX_p+g(t) gera, componente a componente, igualdade de polinômios. Para a primeira componente:
2a t + b = (a+3d)t^{2}+(b+3e)t+(c+3f)+(-2t^{2}).
Agrupando termos em potências de t obtemos as igualdades de coeficientes: