Questão 30. Calcule cada uma das integrais triplas dadas.
, em que
é a parte da bola unitária
que fica no primeiro
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é a parte da bola
situada no primeiro octante (isto é,
,
,
).
O conteúdo envolve o uso de coordenadas esféricas para integrar funções radiais multiplicadas por uma componente linear.
O conteúdo envolve o uso de coordenadas esféricas para integrar funções radiais multiplicadas por uma componente linear.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
com
e o elemento de volume
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando fica
e assim
Passo 4
A integral tripla separa-se em produto de três integrais:
Passo 5
Calculemos a parte radial. Use
, logo
Passo 6
Agora as integrais angulares:
Passo 7
Multiplicando tudo, obtemos