Questão 30. Calcule cada uma das integrais triplas dadas.
\iiint_{E} x e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V, em que E é a parte da bola unitária x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 que fica no primeiro

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iiint_{E} x\,e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV
onde E é a parte da bola x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1 situada no primeiro octante (isto é, x\ge0, y\ge0, z\ge0).
O conteúdo envolve o uso de coordenadas esféricas para integrar funções radiais multiplicadas por uma componente linear.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
com
0\le r\le1,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},
e o elemento de volume
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica
x\,e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \bigl(r\sin\varphi\cos\theta\bigr)\,e^{r^{2}}
e assim
x\,e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = r\sin\varphi\cos\theta\,e^{r^{2}}\;\bigl(r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\bigr) = r^{3}e^{r^{2}}\sin^{2}\varphi\cos\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

A integral tripla separa-se em produto de três integrais:
\iiint_{E}x\,e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV =\int_{0}^{1}r^{3}e^{r^{2}}\,dr \;\times\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\varphi\,d\varphi \;\times\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Calculemos a parte radial. Use u=r^{2}\implies du=2r\,dr, logo
\int_{0}^{1}r^{3}e^{r^{2}}\,dr =\frac12\int_{0}^{1}u\,e^{u}\,du =\frac12\bigl[(u-1)e^{u}\bigr]_{0}^{1} =\frac12\bigl[(1-1)e^{1} - (0-1)e^{0}\bigr] =\frac12\cdot1 =\frac12.

Passo 6

Agora as integrais angulares:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{4}, \qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta =\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =1.

Passo 7

Multiplicando tudo, obtemos
\iiint_{E}x\,e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV =\frac12\;\times\;\frac{\pi}{4}\;\times\;1 =\frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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