Questão 29. Utilize coordenadas cilíndricas para resolver cada item abaixo.
Determine o volume do sólido que está dentro tando do cilindro x^{2}+y^{2}=1 como da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que pertence simultaneamente ao cilindro
x^{2}+y^{2}=1
e à esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
e o elemento de volume é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a região R fica descrita por
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad -\sqrt{4 - r^{2}} \le z \le \sqrt{4 - r^{2}}.
Logo, o volume é
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r\,dz = r\Bigl[\,z\Bigr]_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} = 2r\,\sqrt{4 - r^{2}}.
Então
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} 2r\,\sqrt{4 - r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Como a integral em \theta é trivial, fazemos
V = 2\pi \cdot \int_{0}^{1} 2r\,\sqrt{4 - r^{2}}\;dr = 4\pi \int_{0}^{1} r\,\sqrt{4 - r^{2}}\;dr.
Para calcular
\int_{0}^{1} r\,\sqrt{4 - r^{2}}\;dr,
façamos a substituição u = 4 - r^{2}, logo du = -2r\,dr e quando r=0, u=4; quando r=1, u=3. Assim,
\int_{0}^{1} r\,\sqrt{4 - r^{2}}\;dr = \int_{4}^{3} \sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)du = \frac{1}{2}\int_{3}^{4} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{3}^{4} = \frac{1}{3}\bigl(4^{3/2}-3^{3/2}\bigr) = \frac{1}{3}\bigl(8 - 3\sqrt{3}\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta em V:
V = 4\pi \cdot \frac{1}{3}\bigl(8 - 3\sqrt{3}\bigr) = \frac{4\pi}{3}\,(8 - 3\sqrt{3}) = \frac{32\pi - 12\pi\sqrt{3}}{3}.

Resposta

V = \frac{32\pi - 12\pi\sqrt{3}}{3}.

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