Questão 30. Calcule cada uma das integrais triplas dadas.
\iiint_{H}\left(9-x^{2}-y^{2}\right) d V, em que H é o hemisfério sólido x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{H}\bigl(9 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dV
onde H é o hemisfério sólido
x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 9,\quad z \ge 0.
Para resolver vamos usar coordenadas cilíndricas, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a região H fica descrita por
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 3,\quad 0 \le z \le \sqrt{9 - r^{2}}.
Além disso x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo o integrando vira 9 - r^{2}. Assim
\iiint_{H}(9 - x^{2} - y^{2})\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{\sqrt{9 - r^{2}}} (9 - r^{2})\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{\sqrt{9 - r^{2}}}(9 - r^{2})\,r\,dz = (9 - r^{2})\,r\;\sqrt{9 - r^{2}}.
Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{3}r\,(9 - r^{2})\,\sqrt{9 - r^{2}}\,dr = 2\pi \int_{0}^{3}r\,(9 - r^{2})\,\sqrt{9 - r^{2}}\,dr.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{3}r\,(9 - r^{2})\,\sqrt{9 - r^{2}}\,dr use a substituição
u = 9 - r^{2},\quad du = -2r\,dr,\quad r\,dr = -\tfrac12\,du.
Quando r=0, u=9; quando r=3, u=0. Logo
\int_{0}^{3}r\,(9 - r^{2})\,\sqrt{9 - r^{2}}\,dr = \int_{9}^{0}u\,\sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) = \tfrac12\int_{0}^{9}u^{3/2}\,du.

Passo 5

Calcule a integral em u:
\tfrac12\int_{0}^{9}u^{3/2}\,du = \tfrac12\Bigl[\tfrac{2}{5}u^{5/2}\Bigr]_{0}^{9} = \tfrac{1}{5}\,9^{5/2} = \tfrac{243}{5}.
Multiplicando por 2\pi obtemos
2\pi\;\frac{243}{5} = \frac{486}{5}\,\pi.

Resposta

\frac{486}{5}\,\pi

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