Questão 30. Calcule cada uma das integrais triplas dadas.
, em que
é o hemisfério sólido
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
onde
é o hemisfério sólido
Para resolver vamos usar coordenadas cilíndricas, em que
e o elemento de volume é
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, a região
fica descrita por
Além disso
, logo o integrando vira
. Assim
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Portanto a integral torna-se
Passo 4
Para
use a substituição
Quando
,
; quando
,
. Logo
Passo 5
Calcule a integral em
:
Multiplicando por
obtemos