Resolva as EDO’s homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é a função
e a derivada é em relação a . - A equação envolve termos com
, portanto (domínio separado em e ). - A tarefa é encontrar a família geral de soluções
(a constante de integração aparecerá). - Não há condição inicial fornecida; queremos a solução geral.
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma padrão que facilita a solução. Reescrevendo:
Aqui isolamos a derivada
e colocamos a equação na forma
onde, neste caso,
e
. Essa é a forma padrão para usar o método do fator integrante (integrating factor). Repare que
para que
esteja bem definida.
Passo 3
Lembrete rápido sobre o fator integrante: para a equação
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo na derivada do produto
, o que facilita a integração.
No nosso caso:
Portanto
Para evitar complicações com derivadas de
vamos tratar separadamente os dois ramos
e
; no final a solução ficará com
.
Passo 4
Caso
: então
e
. Multiplicamos a equação por
:
Verificação de que o lado esquerdo é a derivada de
:
Logo a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados (para
):
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Caso
: agora
e
. Multiplicando a equação original por
obtemos
Note que o lado esquerdo é a derivada de
:
Logo
Integramos (para
):
pois para
. Rearranjando:
portanto
Observe que isso coincide com a expressão obtida para
se substituirmos
por
. Assim uma forma unificada é com
.
Passo 7
Interpretação final e forma conveniente da solução: a família geral de soluções, válida para
, é
onde
é constante arbitrária. Podemos também escrever