Resolva as EDO’s homogêneas:
y^{\prime}=\frac{y}{x}-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
y'=\frac{y}{x}-1.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é a função y=y(x) e a derivada é em relação a x.
  • A equação envolve termos com \frac{y}{x}, portanto x\neq0 (domínio separado em x>0 e x<0).
  • A tarefa é encontrar a família geral de soluções y(x) (a constante de integração aparecerá).
  • Não há condição inicial fornecida; queremos a solução geral.

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma padrão que facilita a solução. Reescrevendo:
y'=\frac{y}{x}-1 \quad\Longrightarrow\quad y' - \frac{1}{x}y = -1.
Aqui isolamos a derivada y' e colocamos a equação na forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde, neste caso, P(x) = -\dfrac{1}{x} e Q(x) = -1. Essa é a forma padrão para usar o método do fator integrante (integrating factor). Repare que x\neq0 para que P(x) esteja bem definida.

Passo 3

Lembrete rápido sobre o fator integrante: para a equação y' + P(x)y = Q(x) o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y, o que facilita a integração.
No nosso caso:
P(x)=-\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad \int P(x)\,dx=\int -\frac{1}{x}\,dx=-\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=e^{-\ln|x|}=\frac{1}{|x|}.
Para evitar complicações com derivadas de |x| vamos tratar separadamente os dois ramos x>0 e x<0; no final a solução ficará com \ln|x|.

Passo 4

Caso x>0: então |x|=x e \mu(x)=\dfrac{1}{x}. Multiplicamos a equação por \dfrac{1}{x}:
\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = -\frac{1}{x}.
Verificação de que o lado esquerdo é a derivada de \dfrac{y}{x}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{x y' - y}{x^2}=\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{1}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados (para x>0):
\frac{y}{x}=\int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln x + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por x obtemos
y = x\big(C - \ln x\big).

Passo 6

Caso x<0: agora |x|=-x e \mu(x)=\dfrac{1}{|x|}=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}. Multiplicando a equação original por -\dfrac{1}{x} obtemos
-\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = \frac{1}{x}.
Note que o lado esquerdo é a derivada de -\dfrac{y}{x}:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{y}{x}\right) = -\left(\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y\right) = -\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y.
Logo
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}.
Integramos (para x<0):
-\frac{y}{x}=\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C,
pois para x<0 \ln|x|=\ln(-x). Rearranjando:
\frac{y}{x} = -\ln|x| + C,
portanto
y = x\big(C - \ln|x|\big).
Observe que isso coincide com a expressão obtida para x>0 se substituirmos \ln x por \ln|x|. Assim uma forma unificada é com \ln|x|.

Passo 7

Interpretação final e forma conveniente da solução: a família geral de soluções, válida para x\neq0, é
y(x)=x\big(C - \ln|x|\big),
onde C é constante arbitrária. Podemos também escrever
y(x)=C x - x\ln|x|.

Resposta

y(x)=x\big(C-\ln|x|\big),\quad x\neq0

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