(e) Como calcular essas integrais de linha?
4. (a) Defina a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva suave
dada pela função vetorial
.
(b) Se
é um campo de força, o que essa integral de linha representa?
(c)
, qual é a relação entre a integral de linha de
e as integrais de linha das componentes
e
?
4. (a) Defina a integral de linha do campo vetorial
(b) Se
(c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
- (a) Definir a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva suave dada pela função vetorial . - (b) Se
é um campo de força, dizer o que essa integral de linha representa (interpretação física). - (c) Dada
, apresentar a relação entre a integral de linha de e as integrais de linha das componentes .
Informações implícitas fornecidas pelo enunciado que usarei:
- A curva
é suave (ou peça‑suave) e tem parametrização para . -
é um campo vetorial definido em pontos da curva. - Para (c),
são as componentes escalares do campo vetorial .
Passo 2
Definição precisa (fórmula) da integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
A definição é
Explicando cada símbolo e por que essa fórmula faz sentido:
-
é o vetor posição que descreve a curva . Para cada , . -
é o vetor velocidade (derivada) e representa a direção tangente e a taxa de variação da posição quando varia. -
é o campo vetorial avaliado no ponto da curva correspondente a . - O produto escalar
é um escalar que mede a componente de ao longo da direção do deslocamento infinitesimal. - Integrando em
somamos essas contribuições escalares ao longo de toda a curva. A integral existe se e forem contínuos (ou peça‑contínuos).
Observação sobre orientação: a escolha da parametrização (sentido em que
aumenta) define a orientação de
. Se invertermos a orientação, o sinal da integral muda.
Passo 3
Receita prática passo a passo para calcular a integral de linha numa prova (sem pular etapas):
- Parametrize a curva
: escreva e determine os limites . - Calcule
. - Substitua na expressão do campo:
. - Faça o produto escalar:
. Isso dá uma função escalar em . - Integre essa função escalar de
até :
- Se a curva for peça‑suave (vários segmentos), parametrize cada segmento e some as integrais dos segmentos.
- Lembre‑se que a orientação importa: trocar
e ou usar pode mudar o sinal.
Dica prática: às vezes é mais fácil reconhecer a integral como
. Use a correspondência
,
,
para montar a integral.
Passo 4
Interpretação física quando
é um campo de força — o que a integral representa.
- Se
é uma força aplicada a uma partícula que se move ao longo da curva , então a integral de linha
representa o trabalho realizado pela força
ao deslocar a partícula ao longo de
.
- Intuição física: em um pequeno deslocamento
o trabalho elemental é . Somando esses pequenos trabalhos ao longo do caminho obtemos o trabalho total como a integral.
Exemplo concreto (passo a passo) para fixar a ideia:
- Seja
. - Seja a curva
a reta do ponto até parametrizada por , . - Calcule
. - Avalie o campo na curva:
. - Produto escalar:
. - Integre:
Portanto o trabalho realizado ao longo dessa reta é
. Isso ilustra cada passo prático.
Passo 5
Relação entre a integral de linha do campo
e as integrais das componentes.
Mostrando a fórmula e explicando termos:
- Escrevendo
e , temos
- Integrando,
- Usando
, , , escrevemos a forma mais habitual:
Isto mostra que a integral vetorial se decompõe em integrais escalares das componentes multiplicadas pelos diferenciais das coordenadas. Em cálculo prático você normalmente calcula via a versão em
(com
) ou monta diretamente
e substitui
.
Passo 6
Observações finais rápidas e dicas de prova (para te acalmar e ser eficiente):
- Sempre verifique a parametrização e a orientação. Se pedirem trabalho realizado pela força, a orientação segue o movimento da partícula.
- Para campos conservativos (existência de potencial
tal que ), a integral depende apenas das extremidades: . Isso poupa trabalho de cálculo. - Se a curva for no plano (
), basta usar . - Em provas, explique cada etapa (parametrização, derivada, substituição, produto escalar, integração). Isso ganha pontos mesmo que a integral seja custosa.
Resposta
(a)
(b) Se é uma força, a integral de linha
representa o trabalho realizado pela força ao deslocar a partícula ao longo de
.
(c)
(b) Se
(c)