(e) Como calcular essas integrais de linha?
4. (a) Defina a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F} ao longo da curva suave C dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
(b) Se \mathbf{F} é um campo de força, o que essa integral de linha representa?
(c) \operatorname{Se} \mathbf{F}=\langle P, Q, R\rangle, qual é a relação entre a integral de linha de \mathbf{F} e as integrais de linha das componentes P, Q e R ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas separadas:
  1. (a) Definir a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F} ao longo da curva suave C dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
  2. (b) Se \mathbf{F} é um campo de força, dizer o que essa integral de linha representa (interpretação física).
  3. (c) Dada \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle, apresentar a relação entre a integral de linha de \mathbf{F} e as integrais de linha das componentes P,Q,R.
Informações implícitas fornecidas pelo enunciado que usarei:
  • A curva C é suave (ou peça‑suave) e tem parametrização \mathbf{r}(t) para t\in[a,b].
  • \mathbf{F} é um campo vetorial definido em pontos da curva.
  • Para (c), P,Q,R são as componentes escalares do campo vetorial \mathbf{F}.

Passo 2

Definição precisa (fórmula) da integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
A definição é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo e por que essa fórmula faz sentido:
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição que descreve a curva C. Para cada t\in[a,b], \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)).
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada) e representa a direção tangente e a taxa de variação da posição quando t varia.
  • \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo vetorial avaliado no ponto da curva correspondente a t.
  • O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é um escalar que mede a componente de \mathbf{F} ao longo da direção do deslocamento infinitesimal.
  • Integrando em t somamos essas contribuições escalares ao longo de toda a curva. A integral existe se \mathbf{r}'(t) e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) forem contínuos (ou peça‑contínuos).
Observação sobre orientação: a escolha da parametrização (sentido em que t aumenta) define a orientação de C. Se invertermos a orientação, o sinal da integral muda.

Passo 3

Receita prática passo a passo para calcular a integral de linha numa prova (sem pular etapas):
  1. Parametrize a curva C: escreva \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) e determine os limites t\in[a,b].
  2. Calcule \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
  3. Substitua na expressão do campo: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
  4. Faça o produto escalar: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). Isso dá uma função escalar em t.
  5. Integre essa função escalar de t=a até t=b:
\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
  1. Se a curva for peça‑suave (vários segmentos), parametrize cada segmento e some as integrais dos segmentos.
  2. Lembre‑se que a orientação importa: trocar a e b ou usar \mathbf{r}(-t) pode mudar o sinal.
Dica prática: às vezes é mais fácil reconhecer a integral como \int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz. Use a correspondência \,dx=x'(t)\,dt, \,dy=y'(t)\,dt, \,dz=z'(t)\,dt para montar a integral.

Passo 4

Interpretação física quando \mathbf{F} é um campo de força — o que a integral representa.
  • Se \mathbf{F} é uma força aplicada a uma partícula que se move ao longo da curva C, então a integral de linha
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
representa o trabalho realizado pela força \mathbf{F} ao deslocar a partícula ao longo de C.
  • Intuição física: em um pequeno deslocamento \,d\mathbf{r} o trabalho elemental é dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. Somando esses pequenos trabalhos ao longo do caminho obtemos o trabalho total como a integral.
Exemplo concreto (passo a passo) para fixar a ideia:
  • Seja \mathbf{F}=\langle x,y,0\rangle.
  • Seja a curva C a reta do ponto (0,0,0) até (1,1,0) parametrizada por \mathbf{r}(t)=\langle t,t,0\rangle, t\in[0,1].
  • Calcule \mathbf{r}'(t)=\langle 1,1,0\rangle.
  • Avalie o campo na curva: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\langle t,t,0\rangle.
  • Produto escalar: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=t\cdot 1 + t\cdot 1 = 2t.
  • Integre:
W=\int_{0}^{1}2t\,dt = \left[t^{2}\right]_{0}^{1}=1.
Portanto o trabalho realizado ao longo dessa reta é 1. Isso ilustra cada passo prático.

Passo 5

Relação entre a integral de linha do campo \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle e as integrais das componentes.
Mostrando a fórmula e explicando termos:
  • Escrevendo \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) e \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)), temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t).
  • Integrando,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)\big)\,dt.
  • Usando \,dx=x'(t)\,dt, \,dy=y'(t)\,dt, \,dz=z'(t)\,dt, escrevemos a forma mais habitual:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
Isto mostra que a integral vetorial se decompõe em integrais escalares das componentes multiplicadas pelos diferenciais das coordenadas. Em cálculo prático você normalmente calcula via a versão em t (com x'(t),y'(t),z'(t)) ou monta diretamente P\,dx+Q\,dy+R\,dz e substitui dx,dy,dz.

Passo 6

Observações finais rápidas e dicas de prova (para te acalmar e ser eficiente):
  • Sempre verifique a parametrização e a orientação. Se pedirem trabalho realizado pela força, a orientação segue o movimento da partícula.
  • Para campos conservativos (existência de potencial \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi), a integral depende apenas das extremidades: \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial}). Isso poupa trabalho de cálculo.
  • Se a curva for no plano ( z=0), basta usar P\,dx+Q\,dy.
  • Em provas, explique cada etapa (parametrização, derivada, substituição, produto escalar, integração). Isso ganha pontos mesmo que a integral seja custosa.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
(b) Se \mathbf{F} é uma força, a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} representa o trabalho realizado pela força ao deslocar a partícula ao longo de C.
(c) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)\big)\,dt.

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