Questão 30 (ITA-04) Determine o lugar geométrico dos pontos ( x, y ) do plano que satisfaz a equação
\left|\begin{array}{rrrr} x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\ 40 & 2 & 6 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ 34 & 5 & 3 & 1 \end{array}\right|=288

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) que satisfazem
\begin{vmatrix} x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\\\ 40 & 2 & 6 & 1 \\\\ 4 & 2 & 0 & 1 \\\\ 34 & 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} =288.
Isso gera uma equação que envolve x^{2}+y^{2}, x, y e termo constante, ou seja, será a equação geral de um círculo.

Passo 2

Vamos expandir o determinante pela primeira linha. Chamando-o de D, temos
D = (x^{2}+y^{2})\;M_{11} \;-\; x\;M_{12} \;+\; y\;M_{13} \;-\; 1\;M_{14},
onde M_{1j} é o menor correspondente à entrada da primeira linha e coluna j.

Passo 3

Calcular cada menor:
M_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\[6pt] 2 & 0 & 1 \\[6pt] 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} =2\,(0\cdot1 -1\cdot3)\;-\;6\,(2\cdot1 -1\cdot5)\;+\;1\,(2\cdot3 -0\cdot5) =-6 +18 +6 =18.
M_{12} = \begin{vmatrix} 40 & 6 & 1 \\[6pt] 4 & 0 & 1 \\[6pt] 34 & 3 & 1 \end{vmatrix} =40\,(0\cdot1 -1\cdot3)\;-\;6\,(4\cdot1 -1\cdot34)\;+\;1\,(4\cdot3 -0\cdot34) =-120 +180 +12 =72.
M_{13} = \begin{vmatrix} 40 & 2 & 1 \\[6pt] 4 & 2 & 1 \\[6pt] 34 & 5 & 1 \end{vmatrix} =40\,(2\cdot1 -1\cdot5)\;-\;2\,(4\cdot1 -1\cdot34)\;+\;1\,(4\cdot5 -2\cdot34) =-120 +60 -48 =-108.
M_{14} = \begin{vmatrix} 40 & 2 & 6 \\[6pt] 4 & 2 & 0 \\[6pt] 34 & 5 & 3 \end{vmatrix} =40\,(2\cdot3 -0\cdot5)\;-\;2\,(4\cdot3 -0\cdot34)\;+\;6\,(4\cdot5 -2\cdot34) =240 -24 -288 =-72.]

Passo 4

Substituindo em D e igualando a 288:
18(x^{2}+y^{2}) - x\,(72) + y\,(-108) -1\cdot(-72) = 288
18(x^{2}+y^{2}) -72x -108y +72 =288.

Passo 5

Dividindo tudo por 18:
x^{2}+y^{2} -4x -6y +4 =16 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2} -4x -6y -12 =0.

Passo 6

Completar quadrados:
(x^{2}-4x)+(y^{2}-6y)=12 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2}-4 + (y-3)^{2}-9 =12
(x-2)^{2}+(y-3)^{2} =12+4+9 =25.

Resposta

O lugar geométrico é o círculo de centro (2,3) e raio 5, dado por
(x-2)^{2} + (y-3)^{2} =25.

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