Questão 31 Se a,b,c estão em progressão aritmética, determine
\left|\begin{array}{lll} x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+4 & x+b \\ x+3 & x+6 & x+c \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
\begin{pmatrix} x+1 & x+2 & x+a\\\ x+2 & x+4 & x+b\\\ x+3 & x+6 & x+c \end{pmatrix}
sabendo que a,b,c estão em progressão aritmética. O conteúdo envolve cálculo de determinante por operações de linha e uso da relação característica de progressão aritmética.

Passo 2

Aplicamos as operações de linha
L_2 \leftarrow L_2 - L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - L_1
para obter
\begin{pmatrix} x+1 & x+2 & x+a\\\\ 1 & 2 & b - a\\\\ 2 & 4 & c - a \end{pmatrix}.

Passo 3

Em seguida fazemos
L_3 \leftarrow L_3 - 2\,L_2
para chegar a
\begin{pmatrix} x+1 & x+2 & x+a\\\\ 1 & 2 & b - a\\\\ 0 & 0 & c - 2b + a \end{pmatrix}.
Expandindo o determinante por essa última linha, só o elemento (3,3) contribui, e o menor associado é
\det\begin{pmatrix} x+1 & x+2\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix} =(x+1)\cdot2-(x+2)\cdot1=x.
Logo o determinante original vale
x\,(c-2b+a).

Passo 4

Como a,b,c estão em progressão aritmética, temos 2b=a+c, isto é,
c-2b+a=c-(a+c)+a=0.
Portanto o determinante é zero para todo x.

Resposta

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