Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=c x^{3}
Passo 1
Na questão, temos a família de curvas definida por e queremos determinar as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cruzam cada membro da família ângulo reto. Para isso, vamos precisar usar derivação implícita, o conceito de declividade de trajetória ortogonal (recíproco negativo) e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Começamos derivando a família original em relação a . Da igualdade , temos
Como é constante para cada curva, podemos escrever . Substituindo em , obtemos
Passo 3
Para achar a declividade das trajetórias ortogonais, tomamos o recíproco negativo de . Assim, se é a declividade da família original, a declividade ortogonal é
Passo 4
Agora resolvemos a equação diferencial
dydx = -x3y
por separação de variáveis. Multiplicamos ambos os lados por 3y,dx e por dy:
$$
3y,dy = -x,dx.
$$
Passo 5
Integrando os dois lados:
integral 3y,dy = integral -x,dx
o que leva a 32y^2 = -12x^2 + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando tudo por 2 e reorganizando, chegamos à forma geral das trajetórias ortogonais:
$$
x^2 + 3y^2 = C,$$
com x^2 + 3y^2 = C, sendo uma nova constante arbitrária.