Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=c x^{3}

Passo 1

Na questão, temos a família de curvas definida por y = c,x^3 e queremos determinar as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cruzam cada membro da família ângulo reto. Para isso, vamos precisar usar derivação implícita, o conceito de declividade de trajetória ortogonal (recíproco negativo) e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Começamos derivando a família original em relação a x. Da igualdade y = c,x^3, temos
dydx = 3c,x^2
Como c é constante para cada curva, podemos escrever c = tfracyx^3. Substituindo em dy/dx, obtemos
dydx = 3,yx^3,x^2 = 3yx

Passo 3

Para achar a declividade das trajetórias ortogonais, tomamos o recíproco negativo de dy/dx. Assim, se m = dy/dx é a declividade da família original, a declividade ortogonal é
dydx|perp = -1m = -1tfrac3yx = -x3y

Passo 4

Agora resolvemos a equação diferencial
dydx = -x3y
por separação de variáveis. Multiplicamos ambos os lados por 3y,dx e por dy:
$$
3y,dy = -x,dx.
$$

Passo 5

Integrando os dois lados:
integral 3y,dy = integral -x,dx
o que leva a
32y^2 = -12x^2 + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando tudo por 2 e reorganizando, chegamos à forma geral das trajetórias ortogonais:
$$
x^2 + 3y^2 = C,$$
com x^2 + 3y^2 = C, sendo uma nova constante arbitrária.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas por
x^2 + 3y^2 = C,
onde C é constante.

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