Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y^{3}+3 x y=c

Passo 1

Temos a família de curvas dada por
y^3 + 3xy = c
O conteúdo aqui é encontrar as trajetórias ortogonais, ou seja, curvas que em cada ponto cortam ortogonalmente (Ângulo reto) todas as curvas dessa família. Para isso vamos precisar: derivar implicitamente a equação, achar o coeficiente angular da família dada, obter o coeficiente angular da ortogonal (negativo do recíproco) e então resolver a ODE resultante.

Passo 2

Derivando implicitamente y^3 + 3xy = c em relação a x, temos:
3y^2 dydx + 3y + 3x dydx = 0
Agrupando os termos com dydx:
(3y^2 + 3x)dydx + 3y = 0
Logo o coeficiente angular da família original é
dydx = -3y3(y^2 + x) = -yy^2 + x

Passo 3

O coeficiente angular mperp da trajetória ortogonal é o negativo do recíproco de dy/dx da família original. Assim:
dydx|ort = -1-(y/(y^2 + x)) = y^2 + xy
Portanto a ODE que define as ortogonais é
dydx = x + y^2y

Passo 4

Para resolver essa ODE usamos a substituição v = y^2. Então
dvdx = 2ydydx
Substituindo dy/dx = x/y + y em dv/dx:
dvdx = 2yl(xy + yr) = 2x + 2y^2 = 2x + 2v
Isso dá uma equação linear em v(x):
dvdx - 2v = 2x

Passo 5

O fator integrante dessa equação é e^-2x. Multiplicando tudo por e^-2x e reconhecendo o lado esquerdo como derivada de v e^-2x, obtemos:
ddxl(v e^-2xr) = 2x e^-2x
Integrando em relação a x:
v e^-2x = integral 2x e^-2x,dx = -(x + tfrac12)e^-2x + K,
onde K é constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável y (lembre que v=y^2) e multiplicando ambos os lados por e^2x, chega-se a:
y^2 = -x - tfrac12 + K e^2x
ou, reorganizando,
y^2 + x + tfrac12 = K e^2x

Passo 7

Essa última expressão é a família de ortogonais implícita, com K como nova constante.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas implicitamente por
y^2 + x + tfrac12 = C e^2x,
onde C é constante de integração.

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