Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y^{3}+3 x y=c
Passo 1
Temos a família de curvas dada por
O conteúdo aqui é encontrar as trajetórias ortogonais, ou seja, curvas que em cada ponto cortam ortogonalmente (Ângulo reto) todas as curvas dessa família. Para isso vamos precisar: derivar implicitamente a equação, achar o coeficiente angular da família dada, obter o coeficiente angular da ortogonal (negativo do recíproco) e então resolver a ODE resultante.
Passo 2
Derivando implicitamente em relação a , temos:
Agrupando os termos com :
Logo o coeficiente angular da família original é
Passo 3
O coeficiente angular da trajetória ortogonal é o negativo do recíproco de da família original. Assim:
Portanto a ODE que define as ortogonais é
dydx = x + y^2y
Passo 4
Para resolver essa ODE usamos a substituição v = y^2. Então
dvdx = 2ydydx
Substituindo dy/dx = x/y + y em dv/dx:
dvdx = 2yl(xy + yr) = 2x + 2y^2 = 2x + 2v
Isso dá uma equação linear em v(x):
dvdx - 2v = 2x
Passo 5
O fator integrante dessa equação é e^-2x. Multiplicando tudo por e^-2x e reconhecendo o lado esquerdo como derivada de v e^-2x, obtemos:
ddxl(v e^-2xr) = 2x e^-2x
Integrando em relação a x:
v e^-2x = integral 2x e^-2x,dx = -(x + tfrac12)e^-2x + K,
onde K é constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável y (lembre que v=y^2) e multiplicando ambos os lados por e^2x, chega-se a:
y^2 = -x - tfrac12 + K e^2x
ou, reorganizando,
y^2 + x + tfrac12 = K e^2x
Passo 7
Essa última expressão é a família de ortogonais implícita, com K como nova constante.
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas implicitamente por