Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=\frac{c}{1+x}

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas y=tfracc1+x e pede as trajetórias ortogonais. O conteúdo aqui é “trajetórias ortogonais de uma família de curvas”, e vamos precisar usar derivação para eliminar o parâmetro c e depois aplicar a condição de ortogonalidade entre as retas tangentes.

Passo 2

Derivamos a relação y=tfracc1+x em relação a x. Como c é constante,
y'=ddxl(c1+xr)= -c(1+x)^2

Passo 3

Em seguida, expressamos c em função de x,y. Da família original temos c=y(1+x), logo
y'= -y(1+x)(1+x)^2= -y1+x

Passo 4

A condição de ortogonalidade diz que as retas tangentes às trajetórias ortogonais têm declive igual ao negativo recíproco de y'. Ou seja, se y'1=-tfracy1+x, então para as ortogonais
y'2=-1y'1=-1-y/(1+x)=1+xy

Passo 5

Agora resolvemos a equação diferencial
dydx=1+xy

Passo 6

Separamos variáveis e integramos:
y,dy=(1+x),dx,
integral y,dy=integral(1+x),dxLongrightarrowy^22=x+x^22+K

Resposta

Multiplicando por 2 e absorvendo constantes, obtemos a família das trajetórias ortogonais:
y^2=x^2+2x+C

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