Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=\frac{c}{1+x}
y=\frac{c}{1+x}
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
e pede as trajetórias ortogonais. O conteúdo aqui é “trajetórias ortogonais de uma família de curvas”, e vamos precisar usar derivação para eliminar o parâmetro
e depois aplicar a condição de ortogonalidade entre as retas tangentes.
Passo 2
Derivamos a relação
em relação a
. Como
é constante,
Passo 3
Em seguida, expressamos
em função de
. Da família original temos
, logo
Passo 4
A condição de ortogonalidade diz que as retas tangentes às trajetórias ortogonais têm declive igual ao negativo recíproco de
. Ou seja, se
, então para as ortogonais
Passo 5
Agora resolvemos a equação diferencial
Passo 6
Separamos variáveis e integramos:
Resposta
Multiplicando por 2 e absorvendo constantes, obtemos a família das trajetórias ortogonais: