Questão 2. (30 pontos) Para cada um dos seguintes sistemas, encontre todos os seus equilibrios e determine, quando possível, sua estabilidade com os resultados vistos em aula.
(a) (15 pontos) x^{\prime}=(x+2)(y-x), y^{\prime}=(4-x)(y+x)
Encontrar todos os pontos de equilíbrio (ou pontos críticos), isto é, todos os pontos (x,y) onde x'=0 e y'=0.
Determinar, quando possível, a estabilidade desses equilíbrios (estável/instável; nó, sela, foco/espiral, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
As expressões das derivadas x' e y' são produtos fatorados: x'=(x+2)(y-x) e y'=(4-x)(y+x).
A estabilidade será estudada localmente (linearização/Jacobiano) quando a linearização for aplicável.]
Passo 2
Definição prática de equilíbrio: um ponto (x,y) é equilíbrio se
(x+2)(y-x)=0 \qquad\text{e}\qquad (4-x)(y+x)=0.
Para resolver esse sistema de equações usaremos análise por casos, aproveitando os fatores.
Caso A: suponha x+2=0. Então x=-2. Substituindo em y':
(4-(-2))(y+(-2))=6\,(y-2)=0 \implies y=2.
Logo um equilíbrio é (-2,2).
Caso B: suponha y-x=0, ou seja y=x. Substituindo em y':
(4-x)(y+x)=(4-x)(x+x)=(4-x)\,2x=0.
Dessa equação obtemos duas sub‑situações:
2x=0\Rightarrow x=0. Como y=x, então y=0. Equilíbrio (0,0).
4-x=0\Rightarrow x=4. Então y=4. Equilíbrio (4,4).
Não há outras combinações possíveis (os outros fatores já foram considerados). Portanto os equilíbrios são:
(-2,2),\quad (0,0),\quad (4,4).
Passo 3
Método para estudar estabilidade local: linearização pelo Jacobiano.
Explicando a ideia (em palavras simples): perto de um ponto de equilíbrio a dinâmica do sistema é bem aproximada pela parte linear (a matriz das derivadas parciais). Se os autovalores dessa matriz tiverem parte real não nula (pontos hiperbólicos), a natureza (sela, nó, foco) e a estabilidade são determinadas pelos autovalores lineares.
Matematicamente, para o sistema (x',y')=f(x,y) o Jacobiano é a matriz das derivadas parciais
Para uma matriz 2\times2 a equação característica é \lambda^2-(\operatorname{tr}J)\lambda+\det J=0, onde \operatorname{tr}J é a soma das diagonais e \det J o determinante. Classificação rápida (útil na prova):
Se \det J<0: autovalores reais de sinais opostos ⇒ sela (instável).
Se \det J>0 e \Delta=\operatorname{tr}J^2-4\det J>0: autovalores reais com mesmo sinal ⇒ nó (estável se traço<0, instável se traço>0).
Se \det J>0 e \Delta<0: autovalores complexos conjugados ⇒ foco/espiral (estável se traço<0, instável se traço>0).
Se algum autovalor tem parte real não nula, a linearização determina a estabilidade local (hiperbólico). Se autovalores puramente imaginários, a linearização é inconclusiva (não ocorre aqui).
Portanto os autovalores são complexos com parte real \operatorname{tr}/2=-6/2=-3 negativa. Conclusão: (4,4) é um foco/espiral assintoticamente estável (espiral atrativa).]
logo \lambda_1=6 e \lambda_2=4, ambos positivos. Conclusão: (-2,2) é um nó (nó próprio) instável (fonte), pois ambos os autovalores são reais e positivos.]
Passo 7
Interpretação final e conclusão (resumo didático rápido):
Foram encontrados três equilíbrios: (0,0), (4,4) e (-2,2).
A análise pelo Jacobiano mostrou que todos são hiperbólicos (nenhum autovalor com parte real zero), então a linearização é conclusiva.
Vai dar certo na prova — se repetir esse procedimento (achar equilíbrios, montar o Jacobiano, avaliar traço/determinante/discriminante) você consegue classificar qualquer equilíbrio hiperbólico em sistemas 2×2.
Resposta
(-2,2) — nó instável (autovalores \lambda=6,4). (0,0) — sela (instável). (4,4) — foco/espiral assintoticamente estável (estável).