Questão 1. (30 pontos) A equação de Laplace para uma função
tem a forma
A solução geral desta equação num retângulo, de dimensões a e
, com condições de contorno
e
, como feito em aula, é dada por
(a) (10 pontos) Use os resultados sobre séries de Fourier para encontrar uma expressão para o coeficiente
.
(b) ( 20 pontos) Encontre a solução do problema para
, com
.
(b) ( 20 pontos) Encontre a solução do problema para
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laplace em um retângulo de dimensões
e
com condições de contorno
Também nos foi dada a forma geral da solução (obtida por separação de variáveis):
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar uma expressão para o coeficiente
em termos de , e . - (b) Calcular a solução explicitamente quando
, e .
Informações relevantes a usar:
- As funções
são ortogonais em e
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 2
Derivação da fórmula geral para
(resposta do item (a)), usando séries de Fourier e ortogonalidade.
Na fronteira
vale
Isto é uma expansão em série de senos para
no intervalo
. Os coeficientes da expansão em série de senos de
são dados por (regra da série de Fourier seno):
onde
.
Comparando com a expansão acima temos
Logo, isolando
,
Explicando didaticamente: aqui usamos a ortogonalidade das funções seno para projetar
sobre cada modo
. A normalização
vem da integral de norma
dessas funções; como
é a soma dos termos
, o coeficiente de
em
é
, por isso dividimos por
para obter
.
Passo 3
Início da resolução do item (b): aplicar a fórmula para o caso
,
,
.
Primeiro aplicamos a fórmula geral com
e
:
Como
, simplifica para
Defina
Então
.
Passo 4
Cálculo do integral
. Vamos calcular uma primitiva de
e avaliar em
e
.
Começamos calculando primitiva de
. Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se (mostrando passos):
Também precisamos de
. Usando integração por partes:
-
logo -
Portanto a primitiva de
é
Agrupando termos:
Agora avaliamos
. Observações úteis:
Avaliação em
:
- os termos com
são nulos; - restam
(os termos e se cancelam).
Avaliação em
:
- os termos com
ou são nulos; apenas sobra .
Portanto
Substituindo
obtemos
assim
Passo 5
Simplificação do resultado para
e consideração dos casos par/ímpar.
Temos
, então
Note que:
- Se
é par então e , portanto para par. - Se
é ímpar então e . Para ímpar
Assim só aparecem termos ímpares na série. É conveniente reescrever a solução somando sobre os índices ímpares
com
.
Passo 6
Escrevendo a solução final
para
,
e
.
Usando a forma geral
e substituindo
(não nulos apenas para
ímpar), obtemos
Alternativamente, escrevendo
(
):