Em uma obra, 5 homens concluíram um dos trabalhos em 16 dias, fazendo 6 horas por dia. Se dobrasse o número de homens trabalhando, quantos dias levariam para fazer o mesmo trabalho fazendo 8 horas por dia?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • 5 homens concluíram o trabalho em 16 dias, trabalhando 6 horas por dia.
    • A hipótese do segundo caso: dobra-se o número de homens (ou seja, passam a ser 10 homens) e cada um trabalha 8 horas por dia.
  • O que o enunciado pede:
    • Quantos dias seriam necessários, com 10 homens trabalhando 8 horas por dia, para realizar o mesmo trabalho.

Passo 2

Explicação do modelo que vamos usar (a “aula” rápida e didática).
  • Ideia básica: o trabalho total necessário para concluir a obra é proporcional ao total de horas de trabalho efetivamente realizadas por todos os homens. Uma forma simples de medir isso é em “homem-hora” (ou “man-hour”): cada hora trabalhada por um homem é uma unidade de trabalho.
  • Definimos as variáveis (explicando cada uma):
    • N: número de homens trabalhando.
    • h: número de horas trabalhadas por dia por cada homem.
    • d: número de dias de trabalho.
    • W: trabalho total medido em homem-hora (quantidade fixa, a mesma nos dois cenários).
  • Relação entre essas variáveis: se medirmos W em homem-hora, então
W = N \cdot h \cdot d.
Isto significa: “trabalho total = (número de homens) × (horas por dia por homem) × (número de dias)”. Essa é a fórmula que traduz a ideia de que trabalho total é a soma de todas as horas individuais trabalhadas.

Passo 3

Calcular o trabalho total W a partir dos dados do primeiro cenário.
  • No cenário inicial temos N=5, h=6 e d=16. Substituindo na fórmula:
W = 5 \cdot 6 \cdot 16.
  • Fazer as contas passo a passo:
    • 5\cdot6 = 30.
    • 30\cdot16 = 30\cdot(10+6)=300+180=480.
  • Portanto
W = 480\\ \text{homem-hora}.
Interpretando: para completar a obra são necessárias 480 horas de trabalho de um homem (ou a soma equivalente entre vários homens).

Passo 4

Calcular quantas homem-horas por dia o novo grupo produz.
  • No novo cenário dobramos o número de homens: N'=10. Cada um trabalha h'=8 horas por dia.
  • Horas de trabalho por dia (todas as pessoas somadas) é N'\cdot h' = 10\cdot 8.
  • Calculando:
N'\cdot h' = 10\cdot 8 = 80\\ \text{homem-hora por dia}.

Passo 5

Determinar o número de dias d' necessários no novo cenário dividindo o trabalho total pela produção diária.
  • A fórmula é a mesma W = N'\cdot h' \cdot d'. Isolando d':
d' = \frac{W}{N'\cdot h'}.
  • Substituindo os valores encontrados:
d' = \frac{480}{80}.
  • Calculando a divisão:
\frac{480}{80} = 6.
  • Portanto serão necessários 6 dias com 10 homens trabalhando 8 horas por dia para fazer o mesmo trabalho.

Passo 6

Verificação rápida por raciocínio direto (cheque de sanidade).
  • Comparando cenários:
    • O total de homem-horas por dia no primeiro cenário é 5\cdot6=30.
    • No segundo cenário é 10\cdot8=80.
    • A razão entre produções diárias é 80/30 = 8/3 \approx 2{,}666.
    • Logo o número de dias deve cair pela mesma razão: 16 \div (80/30) = 16\cdot(30/80)=16\cdot(3/8)=6. Confere com o cálculo anterior.

Resposta

6 dias

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