Em uma obra, 5 homens concluíram um dos trabalhos em 16 dias, fazendo 6 horas por dia. Se dobrasse o número de homens trabalhando, quantos dias levariam para fazer o mesmo trabalho fazendo 8 horas por dia?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados fornecidos:
-
homens concluíram o trabalho em dias, trabalhando horas por dia. - A hipótese do segundo caso: dobra-se o número de homens (ou seja, passam a ser
homens) e cada um trabalha horas por dia.
-
- O que o enunciado pede:
- Quantos dias seriam necessários, com
homens trabalhando horas por dia, para realizar o mesmo trabalho.
- Quantos dias seriam necessários, com
Passo 2
Explicação do modelo que vamos usar (a “aula” rápida e didática).
- Ideia básica: o trabalho total necessário para concluir a obra é proporcional ao total de horas de trabalho efetivamente realizadas por todos os homens. Uma forma simples de medir isso é em “homem-hora” (ou “man-hour”): cada hora trabalhada por um homem é uma unidade de trabalho.
- Definimos as variáveis (explicando cada uma):
-
: número de homens trabalhando. -
: número de horas trabalhadas por dia por cada homem. -
: número de dias de trabalho. -
: trabalho total medido em homem-hora (quantidade fixa, a mesma nos dois cenários).
-
- Relação entre essas variáveis: se medirmos
em homem-hora, então
Isto significa: “trabalho total = (número de homens) × (horas por dia por homem) × (número de dias)”. Essa é a fórmula que traduz a ideia de que trabalho total é a soma de todas as horas individuais trabalhadas.
Passo 3
Calcular o trabalho total
a partir dos dados do primeiro cenário.
- No cenário inicial temos
, e . Substituindo na fórmula:
- Fazer as contas passo a passo:
-
. -
.
-
- Portanto
Interpretando: para completar a obra são necessárias
horas de trabalho de um homem (ou a soma equivalente entre vários homens).
Passo 4
Calcular quantas homem-horas por dia o novo grupo produz.
- No novo cenário dobramos o número de homens:
. Cada um trabalha horas por dia. - Horas de trabalho por dia (todas as pessoas somadas) é
. - Calculando:
Passo 5
Determinar o número de dias
necessários no novo cenário dividindo o trabalho total pela produção diária.
- A fórmula é a mesma
. Isolando :
- Substituindo os valores encontrados:
- Calculando a divisão:
- Portanto serão necessários
dias com homens trabalhando horas por dia para fazer o mesmo trabalho.
Passo 6
Verificação rápida por raciocínio direto (cheque de sanidade).
- Comparando cenários:
- O total de homem-horas por dia no primeiro cenário é
. - No segundo cenário é
. - A razão entre produções diárias é
. - Logo o número de dias deve cair pela mesma razão:
. Confere com o cálculo anterior.
- O total de homem-horas por dia no primeiro cenário é