Questão 31

Considere uma sequência infinita de números que forma uma progressão geométrica (PG). O primeiro termo dessa sequência é 4 e o terceiro termo é 1 . Com base nisso, é correto afirmar que a soma total de todos os termos dessa progressão geométrica infinita é
(A) 8 .
(B) 12.
(C) 16 .
(D) 6 .

Passo 1

O enunciado dá uma sequência infinita que é uma progressão geométrica (PG). Informações fornecidas:
  • O primeiro termo é 4.
  • O terceiro termo é 1.
O que o problema pede:
  • Determinar a soma total de todos os termos dessa progressão geométrica infinita (ou seja, a soma da série geométrica infinita formada pelos termos da PG).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do termo geral de uma PG e usar os dados para encontrar a razão. Em uma PG, o n-ésimo termo a_n é dado por
a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r é a razão. Aqui temos a_1=4 e a_3=1. Substituindo n=3 na fórmula:
a_3 = a_1 \cdot r^{2}.
Colocando os valores conhecidos:
1 = 4 \cdot r^{2}.

Passo 3

Resolvendo a equação para r^{2}:
r^{2} = \frac{1}{4}.
Tomando raiz quadrada, obtemos duas possibilidades para r:
r = \frac{1}{2}\quad\text{ou}\quad r = -\frac{1}{2}.
Ambas satisfazem a_3=1 quando a_1=4 (por exemplo, se r=-\tfrac{1}{2} os termos seriam 4,-2,1,-\tfrac{1}{2},\ldots).

Passo 4

Agora precisamos da fórmula da soma de uma série geométrica infinita. Uma série geométrica infinita com primeiro termo a_1 e razão r converge (tem soma finita) somente se |r|<1. Nesse caso a soma S é
S = \frac{a_1}{1-r}.
Aqui a_1=4 e as duas razões encontradas satisfazem |r|<1, então ambas produzem soma finita. Vamos calcular as duas somas possíveis.

Passo 5

Caso r=\tfrac{1}{2}:
S=\frac{4}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{4}{\tfrac{1}{2}}=8.
Caso r=-\tfrac{1}{2}:
S=\frac{4}{1-(-\tfrac{1}{2})}=\frac{4}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{4}{\tfrac{3}{2}}=\frac{8}{3}\approx 2,666\ldots

Passo 6

Temos duas somas matematicamente possíveis: \tfrac{8}{1}=8 e \tfrac{8}{3}. Como a questão é de múltipla escolha e as alternativas dadas são 8, 12, 16 e 6, apenas uma das somas calculadas coincide com alguma alternativa: \,8.

Resposta

8

Exercícios relacionados