Questão 31
Considere uma sequência infinita de números que forma uma progressão geométrica (PG). O primeiro termo dessa sequência é 4 e o terceiro termo é 1 . Com base nisso, é correto afirmar que a soma total de todos os termos dessa progressão geométrica infinita é
(A) 8 .
(B) 12.
(C) 16 .
(D) 6 .
(A) 8 .
(B) 12.
(C) 16 .
(D) 6 .
Passo 1
O enunciado dá uma sequência infinita que é uma progressão geométrica (PG). Informações fornecidas:
- O primeiro termo é
. - O terceiro termo é
.
O que o problema pede:
- Determinar a soma total de todos os termos dessa progressão geométrica infinita (ou seja, a soma da série geométrica infinita formada pelos termos da PG).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do termo geral de uma PG e usar os dados para encontrar a razão. Em uma PG, o
-ésimo termo
é dado por
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Aqui temos
e
. Substituindo
na fórmula:
Colocando os valores conhecidos:
Passo 3
Resolvendo a equação para
:
Tomando raiz quadrada, obtemos duas possibilidades para
:
Ambas satisfazem
quando
(por exemplo, se
os termos seriam
).
Passo 4
Agora precisamos da fórmula da soma de uma série geométrica infinita. Uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
converge (tem soma finita) somente se
. Nesse caso a soma
é
Aqui
e as duas razões encontradas satisfazem
, então ambas produzem soma finita. Vamos calcular as duas somas possíveis.
Passo 5
Caso
:
Caso
:
Passo 6
Temos duas somas matematicamente possíveis:
e
. Como a questão é de múltipla escolha e as alternativas dadas são
,
,
e
, apenas uma das somas calculadas coincide com alguma alternativa:
.