Questão 33

Se \cos \alpha=3 / 5 e \alpha está no primeiro quadrante, determine qual é o valor de sen 2 \alpha.
(A) 4 / 25
(B) 24 / 25
(C) 4 / 5
(D) 1 / 25

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
  • Dado: \cos \alpha = \dfrac{3}{5}.
  • Informação adicional: \alpha está no primeiro quadrante (ou seja, 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}).
  • Pedido: determinar o valor de \operatorname{sen} 2\alpha.

Passo 2

Vamos usar uma identidade que relaciona \operatorname{sen} 2\alpha com \operatorname{sen}\alpha e \cos\alpha. A identidade vem da fórmula de ângulo soma:
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b.
Colocando a=b=\alpha obtemos a fórmula do ângulo duplo:
\operatorname{sen} 2\alpha=\operatorname{sen}(\alpha+\alpha)=\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\operatorname{sen}\alpha=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha.
Explicando as variáveis: \alpha é o ângulo que nos deram; \operatorname{sen}\alpha e \cos\alpha são as funções trigonométricas seno e cosseno desse ângulo. Para achar \operatorname{sen} 2\alpha precisamos, portanto, de \operatorname{sen}\alpha e de \cos\alpha.

Passo 3

Temos \cos\alpha=\dfrac{3}{5}, mas precisamos de \operatorname{sen}\alpha. Usamos a identidade pitagórica fundamental:
\operatorname{sen}^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1.
Essa identidade vem da definição trigonométrica no círculo unitário ou de um triângulo retângulo: o quadrado do cateto oposto mais o quadrado do cateto adjacente é igual ao quadrado da hipotenusa (que vale 1 no círculo unitário). Aqui \operatorname{sen}^{2}\alpha significa (\operatorname{sen}\alpha)^{2} e \cos^{2}\alpha significa (\cos\alpha)^{2}.

Passo 4

Aplicando a identidade com \cos\alpha=\dfrac{3}{5}:
\operatorname{sen}^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}.
Agora tiramos a raiz quadrada para obter \operatorname{sen}\alpha:
\operatorname{sen}\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\pm\dfrac{4}{5}.
Mas como o enunciado diz que \alpha está no primeiro quadrante, o seno é positivo ali. Logo
\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{4}{5}.

Passo 5

Agora usamos a identidade do passo 2:
\operatorname{sen} 2\alpha=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha.
Substituindo \operatorname{sen}\alpha=\dfrac{4}{5} e \cos\alpha=\dfrac{3}{5}:
\operatorname{sen} 2\alpha=2\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{2\cdot 4\cdot 3}{5\cdot 5}=\dfrac{24}{25}.
Fiz as multiplicações em numerador e denominador passo a passo para não sobrar dúvida.

Passo 6

Portanto o valor de \operatorname{sen} 2\alpha é \dfrac{24}{25}. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra (B). Força aí — você já devia conseguir repetir esse procedimento rápido na prova: achar o seno a partir do cosseno com a identidade pitagórica e usar \operatorname{sen} 2\alpha=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha.

Resposta

(B) \dfrac{24}{25}

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