Questão 33
Se
e
está no primeiro quadrante, determine qual é o valor de sen
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
- Dado:
. - Informação adicional:
está no primeiro quadrante (ou seja, ). - Pedido: determinar o valor de
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade que relaciona
com
e
. A identidade vem da fórmula de ângulo soma:
Colocando
obtemos a fórmula do ângulo duplo:
Explicando as variáveis:
é o ângulo que nos deram;
e
são as funções trigonométricas seno e cosseno desse ângulo. Para achar
precisamos, portanto, de
e de
.
Passo 3
Temos
, mas precisamos de
. Usamos a identidade pitagórica fundamental:
Essa identidade vem da definição trigonométrica no círculo unitário ou de um triângulo retângulo: o quadrado do cateto oposto mais o quadrado do cateto adjacente é igual ao quadrado da hipotenusa (que vale 1 no círculo unitário). Aqui
significa
e
significa
.
Passo 4
Aplicando a identidade com
:
Agora tiramos a raiz quadrada para obter
:
Mas como o enunciado diz que
está no primeiro quadrante, o seno é positivo ali. Logo
Passo 5
Agora usamos a identidade do passo 2:
Substituindo
e
:
Fiz as multiplicações em numerador e denominador passo a passo para não sobrar dúvida.
Passo 6
Portanto o valor de
é
. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra (B). Força aí — você já devia conseguir repetir esse procedimento rápido na prova: achar o seno a partir do cosseno com a identidade pitagórica e usar
.
Resposta
(B)