Questão 31. Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=\sin (2 x+5 y) ; f_{y x y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial mista de ordem três \displaystyle f_{yxy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}(f_{y}(x,y))\Bigr)
para a função \displaystyle f(x,y)=\sin\bigl(2x+5y\bigr).

Passo 2

Primeiro, encontramos \displaystyle f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\sin\bigl(2x+5y\bigr).
Aplicando a regra da cadeia: se u=2x+5y, então
f_{y}(x,y)=\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} =\cos\bigl(2x+5y\bigr)\cdot5 =5\cos\bigl(2x+5y\bigr).

Passo 3

Em seguida, calculamos \displaystyle f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5\cos(2x+5y)\bigr).
Usando a regra da cadeia de novo, com v=2x+5y:
f_{yx}(x,y) =5\cdot\bigl(-\sin(v)\bigr)\,\frac{\partial v}{\partial x} =-5\sin\bigl(2x+5y\bigr)\cdot2 =-10\sin\bigl(2x+5y\bigr).

Passo 4

Por fim, obtemos \displaystyle f_{yxy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-10\sin(2x+5y)\bigr).
Mais uma vez regra da cadeia, com w=2x+5y:
f_{yxy}(x,y) =-10\cdot\cos(w)\,\frac{\partial w}{\partial y} =-10\cos\bigl(2x+5y\bigr)\cdot5 =-50\cos\bigl(2x+5y\bigr).

Resposta

f_{yxy}(x,y)=-50\cos\bigl(2x+5y\bigr).

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