Questão 31. Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z)=e^{x y z^{2}} ; f_{x y z}

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista de terceira ordem
f_{xyz}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x(x,y,z)\bigr)\biggr)
para a função
f(x,y,z)=e^{\,x\,y\,z^{2}}.
Vamos usar regra da cadeia e regra do produto em cada etapa.

Passo 2

Calculamos primeiro
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(e^{\,x\,y\,z^{2}}\Bigr)
pela regra da cadeia: a derivada de e^{u} é e^{u}u', com u=x\,y\,z^{2} e u'_x=y\,z^{2}. Logo
f_x = y\,z^{2}\,e^{\,x\,y\,z^{2}}.

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y\,z^{2}\,e^{\,x\,y\,z^{2}}\Bigr).
Use regra do produto entre y\,z^{2} e e^{x\,y\,z^{2}}. A derivada de y\,z^{2} é z^{2} e a de e^{x\,y\,z^{2}} é e^{x\,y\,z^{2}}\cdot(x\,z^{2}). Assim
f_{xy} = z^{2}\,e^{\,x\,y\,z^{2}} + y\,z^{2}\,\bigl(x\,z^{2}\bigr)\,e^{\,x\,y\,z^{2}} = z^{2}\bigl(1 + x\,y\,z^{2}\bigr)e^{\,x\,y\,z^{2}}.

Passo 4

Finalmente derivamos f_{xy} em relação a z. Escrevemos
f_{xy} = \bigl(z^{2} + x\,y\,z^{4}\bigr)\,e^{\,x\,y\,z^{2}},
e aplicamos regra do produto. A derivada de z^{2} + x y z^{4} é 2z +4x y z^{3}, e a de e^{x y z^{2}} é e^{x y z^{2}}\cdot(2x y z). Logo
f_{xyz} = \bigl(2z+4x y z^{3}\bigr)e^{\,x y z^{2}} + \bigl(z^{2}+x y z^{4}\bigr)\,(2x y z)\,e^{\,x y z^{2}}.
Fatorando e^{x y z^{2}} e somando termos, obtemos
f_{xyz} = e^{\,x\,y\,z^{2}}\bigl(2z +6x y z^{3} +2x^{2}y^{2}z^{5}\bigr).

Resposta

f_{xyz}(x,y,z) = e^{\,x\,y\,z^{2}}\bigl(2z +6x y z^{3} +2x^{2}y^{2}z^{5}\bigr).

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