Questão 31. Use o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz dada, se essa
inversa existir.
Q=\left[\begin{array}{cccc}2 & 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 12 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -4 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz Q usando o Método de Gauss-Jordan, se ela existir. A matriz dada é
Q=\left[\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 12 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -4 & 1 \end{array}\right].
O que se quer: determinar Q^{-1} tal que
Q\,Q^{-1}=I_4,
onde I_4 é a matriz identidade 4\times4.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz Q é quadrada de ordem 4.
  • O método exigido é o Gauss-Jordan (transformar [Q\mid I] em [I\mid Q^{-1}] por operações elementares nas linhas).

Passo 2

Breve aula sobre o Método de Gauss-Jordan (bem prático):
  • A ideia é formar a matriz aumentada [Q\mid I_4] e aplicar operações elementares nas linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma [I_4\mid X].
  • Se conseguirmos transformar o bloco esquerdo em I_4, o bloco direito final será Q^{-1}.
  • Cada operação que eu indicar será do tipo R_i \leftarrow alguma combinação linear das linhas, e eu explicarei o porquê.
Começamos escrevendo a matriz aumentada [Q\mid I_4]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 12 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Objetivo inicial: obter 1 no pivô da primeira coluna (linha 1). Vou transformar a primeira linha para ter pivô 1.
Operação: R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1.
Justificativa: multiplicar uma linha por escalar não nulo é operação elementar permitida.
Resultado:
R_1 = \left[1\;\; \tfrac{3}{2}\;\;0\;\;0 \mid \tfrac{1}{2}\;\;0\;\;0\;\;0\right].
Agora elimino a entrada abaixo do pivô (na linha 2, coluna 1) para zerar a primeira coluna nas outras linhas.
Operação: R_2 \leftarrow R_2 - R_1 (porque o primeiro elemento de R_2 é 1).
Cálculo e resultado:
R_2 = \left[0\;\; \tfrac{1}{2}\;\;12\;\;0 \mid -\tfrac{1}{2}\;\;1\;\;0\;\;0\right].
Linhas 3 e 4 já têm zero na primeira coluna, permanecem por enquanto.
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & \tfrac{3}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 12 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora pivô na segunda coluna: a entrada R_2(2)=\tfrac{1}{2} é conveniente para virar 1.
Operação: R_2 \leftarrow 2R_2 (multiplicar a linha por 2).
Resultado:
R_2 = \left[0\;\;1\;\;24\;\;0 \mid -1\;\;2\;\;0\;\;0\right].
Em seguida, eliminar a coluna 2 em R_1 e R_4 (porque têm entradas não nulas nessa coluna).
Para R_1: a entrada é \tfrac{3}{2}, então faço R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_2.
Cálculo rápido (componentes):
  • Nova primeira parte da linha: [1,\;0,\; -36,\;0].
  • Parte aumentada: \left[\tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}(-1),\; 0 - \tfrac{3}{2}\cdot2,\; 0 - \tfrac{3}{2}\cdot0,\;0 - \tfrac{3}{2}\cdot0\right]
    que dá [2,\;-3,\;0,\;0].
    Portanto
R_1 = \left[1\;\;0\;\;-36\;\;0 \mid 2\;\;-3\;\;0\;\;0\right].
Para R_4: a entrada em coluna 2 é -1, então faço R_4 \leftarrow R_4 + R_2.
Cálculo:
  • Nova primeira parte: [0,\;0,\;20,\;1].
  • Parte aumentada: [0 + (-1),\;0+2,\;0+0,\;1+0]=[-1,\;2,\;0,\;1].
    Portanto
R_4 = \left[0\;\;0\;\;20\;\;1 \mid -1\;\;2\;\;0\;\;1\right].
Linha 3 permanece [0\;0\\ -1\;0\mid0\;0\;1\;0].
Aumentada agora:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & -36 & 0 & 2 & -3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 24 & 0 & -1 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 20 & 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Pivô na terceira coluna: observe que R_3(3)=-1, o que é ótimo porque é simples de inverter.
Operação: R_3 \leftarrow -R_3 para tornar o pivô igual a 1.
Resultado:
R_3 = \left[0\;\;0\;\;1\;\;0 \mid 0\;\;0\; -1\;\;0\right].
Agora eliminar as outras entradas na coluna 3 (em R_1, R_2 e R_4) usando R_3.
  • Em R_1 a entrada é -36. Faço R_1 \leftarrow R_1 + 36R_3.
    A primeira parte fica [1,0,0,0].
    A parte aumentada: [2 + 36\cdot0,\; -3 +36\cdot0,\; 0 +36\cdot(-1),\;0+36\cdot0] = [2,\;-3,\;-36,\;0].
    Assim
    R_1 = \left[1\;\;0\;\;0\;\;0 \mid 2\;\;-3\;\;-36\;\;0\right].
  • Em R_2 a entrada é 24. Faço R_2 \leftarrow R_2 - 24R_3.
    A primeira parte: [0,1,0,0].
    Aumentada: [-1 -24\cdot0,\;2 -24\cdot0,\;0 -24\cdot(-1),\;0 -24\cdot0] = [-1,\;2,\;24,\;0].
    Assim
    R_2 = \left[0\;\;1\;\;0\;\;0 \mid -1\;\;2\;\;24\;\;0\right].
  • Em R_4 a entrada é 20. Faço R_4 \leftarrow R_4 - 20R_3.
    A primeira parte: [0,0,0,1].
    Aumentada: [-1 -20\cdot0,\;2 -20\cdot0,\;0 -20\cdot(-1),\;1 -20\cdot0] = [-1,\;2,\;20,\;1].
    Assim
    R_4 = \left[0\;\;0\;\;0\;\;1 \mid -1\;\;2\;\;20\;\;1\right].
Aumentada agora está na forma
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -36 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & 24 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 20 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora o bloco esquerdo já é a identidade I_4. Não há entradas não nulas fora da diagonal: as colunas 1,2,3,4 têm pivôs 1 e zeros fora deles. Assim, alcançamos [I_4\mid X].
Parece que não foi necessária nenhuma operação adicional com a quarta coluna, porque já estava com pivô 1 em R_4 e zeros nas outras linhas.
Como resumo do processo: aplicaram-se operações elementares até obter o bloco esquerdo igual a I_4; o bloco direito atual é a inversa Q^{-1}.

Resposta

Q^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & -36 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 24 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 20 & 1 \end{array}\right]]

Exercícios relacionados