Encontre a inversa das matrizes.
\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \operatorname{sen} \theta \\\\ -\operatorname{sen} \theta & \cos \theta\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & \operatorname{sen}\theta \\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{array}\right].
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
  • A é uma matriz 2\times2 com entradas a=\cos\theta, b=\operatorname{sen}\theta, c=-\operatorname{sen}\theta, d=\cos\theta.
  • A pergunta é: calcular A^{-1}.]

Passo 2

Fórmula padrão para a inversa de uma matriz 2\times2. Se
M=\left[\begin{array}{cc}a & b\\[4pt] c & d\end{array}\right],
então, quando o determinante \det(M)=ad-bc for diferente de zero, a inversa é dada por
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d & -b\\[4pt] -c & a\end{array}\right].
Explicando essa fórmula de forma simples: a inversa M^{-1} é a matriz que, multiplicada por M, dá a identidade. Se escrever M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}x & y\\[4pt] z & w\end{array}\right] e impor M M^{-1}=I, obtém-se um sistema linear para x,y,z,w cuja solução leva exatamente à fórmula acima. Aqui a,b,c,d são os elementos de M e ad-bc é o determinante que serve como fator de escala; se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.]

Passo 3

Calcular o determinante de A usando a=\cos\theta, b=\operatorname{sen}\theta, c=-\operatorname{sen}\theta, d=\cos\theta:
\det(A)=ad-bc =\cos\theta\cdot\cos\theta - \operatorname{sen}\theta\cdot(-\operatorname{sen}\theta) =\cos^{2}\theta + \operatorname{sen}^{2}\theta.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1, obtemos
\det(A)=1.
Portanto a inversa existe e o fator 1/(ad-bc) será 1, o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 4

Aplicar a fórmula da inversa com \det(A)=1. Assim
A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}d & -b\\[4pt] -c & a\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{array}\right].
Expliquei: trocou-se a com d, e b,c mudam de sinal — e como o determinante é 1, não há divisão extra.]

Passo 5

Verificação rápida multiplicando A por A^{-1} para confirmar que dá a identidade (faça isso na prova para ter certeza). Calcule A\cdot A^{-1}:
\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & \operatorname{sen}\theta \\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta & -\cos\theta\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}\theta\cos\theta\\[6pt] -\operatorname{sen}\theta\cos\theta+\cos\theta\operatorname{sen}\theta & \operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta \end{array}\right].
Usando \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1 e observando que os termos mistos se cancelam, obtemos a matriz identidade
I=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{array}\right],
confirmando que a matriz encontrada é de fato a inversa.]

Passo 6

Interpretação extra (útil na prova): as colunas de A são vetores ortonormais (produto interno zero e norma 1), logo A é uma matriz ortogonal com \det(A)=1. Nessas condições vale A^{-1}=A^{T} (a inversa é a transposta). De fato a transposta de A é
A^{T}=\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{array}\right],
que coincide com a inversa que calculamos. Dica prática: quando reconhecer uma matriz de rotação/ortogonal, pode usar direto A^{-1}=A^{T} para ganhar tempo.]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta \\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{array}\right].]

Exercícios relacionados