Questão 31. Use o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz dada, se essa
inversa existir.
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: usar o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz, se existir. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 2 & 7\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 2\times2 com entradas a_{11}=1, a_{12}=4, a_{21}=2, a_{22}=7.
  • A tarefa é aplicar Gauss-Jordan (ou seja, operar sobre a matriz aumentada [A\mid I] com operações elementares de linha) para transformar o bloco esquerdo em I e obter o bloco direito igual a A^{-1}, quando existir.]

Passo 2

Breve explicação do Método de Gauss-Jordan (o que vamos usar, passo a passo):
  • Formamos a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a identidade 2\times2.
  • Aplicamos operações elementares de linha até que o bloco esquerdo vire a identidade I. As operações elementares permitidas são:
    • trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    • multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0;
    • adicionar um múltiplo de uma linha a outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
  • Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares à esquerda; portanto, transformar [A\mid I] em [I\mid B] significa que B=A^{-1}.
  • Antes de começar, vale checar se A é invertível: para 2\times2, \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. Se \det(A)=0, a inversa não existe.
Calculemos o determinante:
\det(A)=1\cdot 7 - 4\cdot 2 = 7 - 8 = -1.
Como \det(A)=-1\neq 0, a inversa existe; podemos prosseguir com Gauss-Jordan.

Passo 3

Montar a matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação do elemento abaixo do pivô da primeira coluna (queremos zero em posição (2,1)):
  • Aplicamos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos linha a linha:
  • Nova R_2 (bloco esquerdo): (2,7) - 2\cdot(1,4) = (2-2,\,7-8) = (0,\,-1).
  • Nova R_2 (bloco direito): (0,1) - 2\cdot(1,0) = (0-2,\,1-0) = (-2,\,1).
Aumentada fica:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & -2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Normalizar o pivô da segunda linha (queremos pivô 1 em (2,2)):
  • Aplicamos R_2 \leftarrow -1\cdot R_2 (multiplicar por -1).
Calculemos:
  • Nova R_2 (bloco esquerdo): -1\cdot(0,-1)=(0,1).
  • Nova R_2 (bloco direito): -1\cdot(-2,1)=(2,-1).
Aumentada fica:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminar o elemento acima do pivô da segunda coluna (queremos zero em posição (1,2)):
  • Aplicamos R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2.
Calculemos:
  • Nova R_1 (bloco esquerdo): (1,4) - 4\cdot(0,1) = (1,4-4) = (1,0).
  • Nova R_1 (bloco direito): (1,0) - 4\cdot(2,-1) = (1-8,\,0+4) = (-7,\,4).
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -7 & 4 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretando o resultado: o bloco esquerdo já é a identidade I, portanto o bloco direito é a inversa A^{-1}. Para ficar mais seguro, podemos verificar multiplicando A por essa matriz e conferir que dá I.
Verificação (multiplicação A\cdot A^{-1}):
  • Primeiro elemento (1,1): (1,4)\cdot(-7,2)=1\cdot(-7)+4\cdot 2=-7+8=1.
  • Elemento (1,2): (1,4)\cdot(4,-1)=1\cdot4+4\cdot(-1)=4-4=0.
  • Elemento (2,1): (2,7)\cdot(-7,2)=2\cdot(-7)+7\cdot2=-14+14=0.
  • Elemento (2,2): (2,7)\cdot(4,-1)=2\cdot4+7\cdot(-1)=8-7=1.
O produto é a identidade, confirmação final de que o cálculo está correto.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}-7 & 4 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}]

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