Questão 31. Use o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz dada, se essa
inversa existir. A=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 7\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: usar o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz, se existir. A matriz dada é
A é uma matriz 2\times2 com entradas a_{11}=1, a_{12}=4, a_{21}=2, a_{22}=7.
A tarefa é aplicar Gauss-Jordan (ou seja, operar sobre a matriz aumentada [A\mid I] com operações elementares de linha) para transformar o bloco esquerdo em I e obter o bloco direito igual a A^{-1}, quando existir.]
Passo 2
Breve explicação do Método de Gauss-Jordan (o que vamos usar, passo a passo):
Formamos a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a identidade 2\times2.
Aplicamos operações elementares de linha até que o bloco esquerdo vire a identidade I. As operações elementares permitidas são:
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0;
adicionar um múltiplo de uma linha a outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares à esquerda; portanto, transformar [A\mid I] em [I\mid B] significa que B=A^{-1}.
Antes de começar, vale checar se A é invertível: para 2\times2, \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. Se \det(A)=0, a inversa não existe.
Calculemos o determinante:
\det(A)=1\cdot 7 - 4\cdot 2 = 7 - 8 = -1.
Como \det(A)=-1\neq 0, a inversa existe; podemos prosseguir com Gauss-Jordan.
Interpretando o resultado: o bloco esquerdo já é a identidade I, portanto o bloco direito é a inversa A^{-1}. Para ficar mais seguro, podemos verificar multiplicando A por essa matriz e conferir que dá I.
Verificação (multiplicação A\cdot A^{-1}):
Primeiro elemento (1,1): (1,4)\cdot(-7,2)=1\cdot(-7)+4\cdot 2=-7+8=1.