Encontre a inversa da matriz A resolvendo o sistema A X=I se:
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A resolvendo o sistema A X = I. As informações dadas são:
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
A tarefa específica é determinar A^{-1} tal que
A\,A^{-1}=I.
Não há imagens nem dados adicionais.]

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (do jeito mais direto para a prova): escrever A^{-1} coluna a coluna. Se denotarmos as colunas de A^{-1} por X^{(1)} e X^{(2)}, então
A^{-1} = \big[\,X^{(1)}\;\;X^{(2)}\,\big]
e devemos resolver dois sistemas lineares:
A\,X^{(1)} = e_1,\qquad A\,X^{(2)} = e_2,
onde e_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} e e_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}. Cada solução X^{(j)} será a coluna j de A^{-1}. Isso é útil na prova porque transforma o problema da inversa em resolver sistemas 2×2 (rápido de fazer sem calculadora).]

Passo 3

Montamos o primeiro sistema para obter a primeira coluna X^{(1)}=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}:
A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}
ou explicitamente, em equações:
\begin{cases} 2x + y = 1,\\[4pt] 3x + 2y = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o primeiro sistema (vou mostrar uma técnica simples: isolar e substituir).
Da primeira equação isolamos y:
y = 1 - 2x.
Substituindo na segunda:
3x + 2(1 - 2x) = 0.
Desenvolvendo e simplificando:
3x + 2 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad -x + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
Agora y = 1 - 2x = 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3.
Portanto
X^{(1)} = \begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora montamos o segundo sistema para obter a segunda coluna X^{(2)}=\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix}:
A\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}
ou em equações:
\begin{cases} 2u + v = 0,\\[4pt] 3u + 2v = 1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o segundo sistema (mesma técnica: isolar e substituir).
Da primeira equação isolamos v:
v = -2u.
Substituindo na segunda:
3u + 2(-2u) = 1.
Simplificando:
3u - 4u = 1 \quad\Rightarrow\quad -u = 1 \quad\Rightarrow\quad u = -1.
Agora v = -2u = -2(-1) = 2.
Portanto
X^{(2)} = \begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Juntando as colunas obtidas, a inversa é
A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -3 & 2\end{pmatrix}.
Breve verificação (sempre bom checar na prova): multiplicando A por essa matriz deve dar a identidade. Calculando A A^{-1}:
A A^{-1}= \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot2 + 1\cdot(-3) & 2\cdot(-1) + 1\cdot2\\[6pt] 3\cdot2 + 2\cdot(-3) & 3\cdot(-1) + 2\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
confirmando que está correta. Força aí — tá certinho!]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -3 & 2\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados