Questão 31. Use o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz dada, se essa
inversa existir.
D=\left[\begin{array}{ccc}3 & 4 & -1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 5 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
D=\begin{pmatrix}3 & 4 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 3\\[4pt] 2 & 5 & -4\end{pmatrix}
e pede para encontrar a inversa de D, isto é, calcular D^{-1}, usando o Método de Gauss–Jordan.
Informações importantes fornecidas:
  • Os elementos de D são os mostrados na matriz acima.
  • Deve-se aplicar operações elementares por linhas até obter a matriz identidade à esquerda e, então, a direita da matriz aumentada será D^{-1}.]

Passo 2

Breve aula sobre o Método de Gauss–Jordan (passo a passo didático e prático):
  • Monta-se a matriz aumentada [D\mid I], onde I é a matriz identidade 3\times3.
  • As operações elementares permitidas nas linhas são:
    1. trocar duas linhas entre si (denotado por R_i\leftrightarrow R_j);
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo (denotado por kR_i);
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra (denotado por R_i + kR_j\to R_i).
  • O objetivo é transformar a parte esquerda em \,I. No final teremos [I\mid D^{-1}].
    Começamos escrevendo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Escolha do pivô na primeira coluna e primeira operação: é conveniente ter 1 em (1,1). Observa-se que R_2 já tem 1 na primeira coluna, então trocamos R_1 com R_2:
R_1\leftrightarrow R_2
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Zerar as entradas abaixo do pivô (1,1). Aplicamos:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Cálculos linha a linha:
  • Para R_2: (3,4,-1)-(3)\cdot(1,0,3)=(0,4,-10) e (1,0,0)-(3)\cdot(0,1,0)=(1,-3,0).
  • Para R_3: (2,5,-4)-(2)\cdot(1,0,3)=(0,5,-10) e (0,0,1)-(2)\cdot(0,1,0)=(0,-2,1).
Matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -10 & 1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -10 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Pivô na segunda coluna: escalar R_2 para tornar a entrada (2,2) igual a 1. Fazemos
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{4}R_2.
Resultado para R_2:
R_2 = \bigl(0,\;1,\;-\tfrac{5}{2}\;\mid\; \tfrac{1}{4},\; -\tfrac{3}{4},\; 0\bigr).
Matriz aumentada agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{4} & 0\\[4pt] 0 & 5 & -10 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right]
Agora zeramos a entrada (3,2) usando R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2. Cálculo:
  • Terceira coluna: -10 - 5\cdot(-\tfrac{5}{2}) = -10 + \tfrac{25}{2} = \tfrac{5}{2}.
  • Parte direita: \;0 -5\cdot\tfrac{1}{4} = -\tfrac{5}{4},\quad -2 -5\cdot(-\tfrac{3}{4}) = -2 + \tfrac{15}{4} = \tfrac{7}{4},\quad 1-5\cdot 0 =1.
Fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{4} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{5}{4} & \tfrac{7}{4} & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Pivô na terceira coluna: escalamos R_3 para tornar (3,3)=1. Fazemos
R_3 \leftarrow \tfrac{2}{5}R_3.
Cálculos na parte direita:
  • -\tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{2}{5} = -\tfrac{1}{2}.
  • \tfrac{7}{4}\cdot\tfrac{2}{5} = \tfrac{7}{10}.
  • 1\cdot\tfrac{2}{5} = \tfrac{2}{5}.
Então
R_3 = \bigl(0,\;0,\;1\;\mid\; -\tfrac{1}{2},\; \tfrac{7}{10},\; \tfrac{2}{5}\bigr),
e a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{4} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{7}{10} & \tfrac{2}{5} \end{array}\right]]

Passo 7

Zerar as entradas acima do pivô (3,3) (coluna 3). Aplicamos:
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{5}{2}R_3.
Cálculos para R_1:
  • Terceira entrada: 3 - 3\cdot1 = 0.
  • Parte direita: 0 - 3\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{3}{2};
    1 - 3\cdot\tfrac{7}{10} = 1 - \tfrac{21}{10} = -\tfrac{11}{10};
    0 - 3\cdot\tfrac{2}{5} = -\tfrac{6}{5}.
Logo
R_1 = \bigl(1,\;0,\;0\;\mid\; \tfrac{3}{2},\; -\tfrac{11}{10},\; -\tfrac{6}{5}\bigr).
Cálculos para R_2:
  • Terceira entrada: -\tfrac{5}{2} + \tfrac{5}{2}\cdot1 = 0.
  • Parte direita:
    \tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{5}{4} = -1;
    -\tfrac{3}{4} + \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{7}{10} = -\tfrac{3}{4} + \tfrac{35}{20} = 1;
    0 + \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{2}{5} = 1.
Então
R_2 = \bigl(0,\;1,\;0\;\mid\; -1,\; 1,\; 1\bigr).
A matriz aumentada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{11}{10} & -\tfrac{6}{5}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{7}{10} & \tfrac{2}{5} \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretando o resultado: a parte esquerda é a matriz identidade I, portanto a parte direita é D^{-1}. Para conferir mentalmente: pode-se multiplicar D por essa matriz à direita e verificar que o produto é I (teste rápido opcional). Conclusão final abaixo.

Resposta

D^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{3}{2} & -\tfrac{11}{10} & -\tfrac{6}{5}\\[6pt] -1 & 1 & 1\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{7}{10} & \tfrac{2}{5} \end{pmatrix}

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