Questão 31. Use o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz dada, se essa
inversa existir.
B=\left[\begin{array}{cc}-3 & 6 \\\\ 4 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix}-3 & 6\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix}
e pede: encontrar a inversa de B usando o Método de Gauss-Jordan, se essa inversa existir.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é 2\times2.
  • Os elementos são b_{11}=-3, b_{12}=6, b_{21}=4 e b_{22}=5.
  • Precisa-se aplicar Gauss-Jordan para obter B^{-1} (ou concluir que não existe).]

Passo 2

O que é o Método de Gauss-Jordan (explicação didática e intuitiva).
  • A ideia é montar a matriz aumentada \bigl[B\mid I\bigr], onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho.
  • Aplicam-se operações elementares de linha até transformar o bloco esquerdo em I. Essas operações são:
    1. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    2. somar a uma linha um múltiplo de outra linha;
    3. trocar duas linhas.
  • Se for possível transformar o bloco esquerdo em I, o bloco direito se transforma em B^{-1}. Se não for possível (aparece uma linha nula na parte esquerda quando se esperava um pivô), então B não é invertível.
  • Vou executar passo a passo, explicando cada operação e calculando os números de modo que dê para reproduzir na prova sem calculadora.

Passo 3

Formo a matriz aumentada \bigl[B\mid I\bigr]:
\left[\begin{array}{cc|cc} -3 & 6 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Verificação rápida de invertibilidade (motivação): o determinante de uma 2\times2 é uma verificação útil. Para
B=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
o determinante é \det(B)=ad-bc. Se \det(B)=0, B não é invertível; se \det(B)\neq0, B é invertível. Aqui:
\det(B)=(-3)\cdot 5 - 6\cdot 4 = -15 - 24 = -39.
Como \det(B)=-39\neq 0, a inversa existe. Agora aplicamos Gauss-Jordan.]

Passo 5

Objetivo: obter 1 no pivô da primeira linha e coluna. Faço a operação
R_{1}\leftarrow \frac{1}{-3}R_{1}.
Aplicando em cada entrada da primeira linha da aumentada:
\frac{1}{-3}\cdot(-3)=1,\qquad \frac{1}{-3}\cdot 6 = -2,\qquad \frac{1}{-3}\cdot 1 = -\frac{1}{3},\qquad \frac{1}{-3}\cdot 0=0.
A matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & -2 & -\dfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 4 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminar o elemento abaixo do pivô (na coluna 1). Faço
R_{2}\leftarrow R_{2} - 4R_{1}.
Calculo cada entrada nova da segunda linha:
  • coluna 1: 4 - 4\cdot 1 = 0 (como esperado);
  • coluna 2: 5 - 4\cdot(-2) = 5 + 8 = 13;
  • bloco direito, primeira coluna: 0 - 4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = 0 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{4}{3};
  • bloco direito, segunda coluna: 1 - 4\cdot 0 = 1.
Então a aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & -2 & -\dfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 13 & \dfrac{4}{3} & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Normalizar o pivô da segunda linha (coluna 2) tornando-o 1. Faço
R_{2}\leftarrow \frac{1}{13}R_{2}.
Calculando:
0,\qquad 13\cdot\frac{1}{13}=1,\qquad \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{13}=\frac{4}{39},\qquad 1\cdot\frac{1}{13}=\frac{1}{13}.
Aumentada fica
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & -2 & -\dfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \dfrac{4}{39} & \dfrac{1}{13} \end{array}\right]]

Passo 8

Eliminar o elemento acima do pivô da segunda coluna (tornar o -2 na primeira linha igual a 0). Faço
R_{1}\leftarrow R_{1} + 2R_{2}.
Calculo as entradas novas da primeira linha:
  • coluna 1: 1 + 2\cdot 0 = 1;
  • coluna 2: -2 + 2\cdot 1 = 0;
  • bloco direito, primeira entrada: -\dfrac{1}{3} + 2\cdot \dfrac{4}{39} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{39}.
    Para somar, passo -\dfrac{1}{3} = -\dfrac{13}{39}. Então -\dfrac{13}{39} + \dfrac{8}{39} = -\dfrac{5}{39}.
  • bloco direito, segunda entrada: 0 + 2\cdot \dfrac{1}{13} = \dfrac{2}{13}.
Portanto a aumentada final é
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -\dfrac{5}{39} & \dfrac{2}{13}\\[6pt] 0 & 1 & \dfrac{4}{39} & \dfrac{1}{13} \end{array}\right]]

Passo 9

Como o bloco esquerdo é agora a matriz identidade I, o bloco direito é a inversa B^{-1}. Podemos escrever B^{-1} como
B^{-1}=\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{39} & \dfrac{2}{13}\\[6pt] \dfrac{4}{39} & \dfrac{1}{13} \end{pmatrix}.
Uma forma alternativa e compacta (fator comum 1/39) é
B^{-1}=\dfrac{1}{39}\begin{pmatrix}-5 & 6\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix},
pois \dfrac{2}{13}=\dfrac{6}{39} e \dfrac{1}{13}=\dfrac{3}{39}.]

Resposta

B^{-1}=\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{39} & \dfrac{2}{13}\\[6pt] \dfrac{4}{39} & \dfrac{1}{13} \end{pmatrix}]

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