Questão 31. Verifique que \mu(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} é um fator integrante para
x d x+y d y+4 y^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0 .
Encontre a solução de (4). (Resp. \left(x^{2}+y^{2}\right) e^{2 y^{4}}=C.)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,dx + y\,dy + 4y^{3}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy = 0
e indica o fator integrante
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.
O objetivo é verificar que, ao multiplicar a equação original por \mu, ela se torna exata, e então encontrar a solução geral implícita. O conteúdo envolvido é teoria de equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Multiplicamos a equação por \mu. Obtemos
\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx \;+\;\Bigl(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+4y^{3}\Bigr)\,dy \;=\;0.
Identificamos
M(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \quad N(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+4y^{3}.
Agora verificamos a condição de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=N.
Integramos \partial \varphi/\partial x=M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) + h(y).
Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{y}{x^{2}+y^{2}} + h'(y) \stackrel{!}{=} N = \frac{y}{x^{2}+y^{2}} + 4y^{3},
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h'(y)=4y^{3} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^{4}.
Assim
\varphi(x,y) = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+y^{4}.

Passo 4

A solução geral implícita é
\varphi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+y^{4}=C.
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+2y^{4}=2C \;\Longrightarrow\; (x^{2}+y^{2})\,e^{2y^{4}}=C',
onde C' é uma constante arbitrária.

Resposta

(x^{2}+y^{2})\,e^{2y^{4}}=C.

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