Questão 32 Seja
satisfazendo (i) e(ii) abaixo, onde a é um número natural diferente de zero, e
representa o antecessor de a.
Mostre que
i)
.
ii)
, então
.
Mostre que
ii)
Passo 1
O enunciado dá uma parte do que precisamos e pede outra. Vou listar claramente o que temos e o que pedem.
-
Dados fornecidos:
-
. -
e . - (i)
. - (ii)
se então . - Observação:
é o antecessor de (isto é, o número que somado de dá ), informação dada no enunciado, mas não é necessária para a prova direta pedida.
-
-
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
.
- Mostrar que
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): provar que todo número da forma
, para
, pertence a
. Isso se faz naturalmente por indução sobre
. Vou explicar o princípio da indução de forma clara.
Princípio da indução (explicado devagar): para mostrar que uma propriedade vale para todos os inteiros
, costuma-se fazer duas etapas:
- base: provar que a propriedade vale para
; - passo indutivo: supor que vale para um
qualquer (hipótese indutiva) e então provar que isso implica que vale para .
Se ambas as etapas são feitas, então a propriedade vale para todo
. Aqui a propriedade será: "
".
Passo 3
Base da indução:
- Para
, temos . - Pelo item (i) do enunciado sabemos que
. - Logo a propriedade vale para
: .
Isso fecha a base.
Passo 4
Passo indutivo:
- Suponha (hipótese indutiva) que para algum
vale . - Pelo item (ii) do enunciado, sempre que um número
pertence a então também pertence a . - Aplique (ii) com
. Como pela hipótese, então . - Note que
- Portanto, a hipótese
implica .
Isso completa o passo indutivo: a validade para
implica a validade para
.
Passo 5
Conclusão por indução:
- Pela base (
) e pelo passo indutivo (se vale para então vale para ), o princípio da indução garante que para todo (com ) temos . - Portanto todos os elementos
pertencem a . - Escrevendo isso em termos de conjuntos,