Questão 32 Seja X \subset \mathbb{N} satisfazendo (i) e(ii) abaixo, onde a é um número natural diferente de zero, e s^{-1}(a) representa o antecessor de a.
Mostre que
\{a, a+1, a+2, \cdots\} \subset X:
i) a \in X.
ii) n \in X, então n+1 \in X.

Passo 1

O enunciado dá uma parte do que precisamos e pede outra. Vou listar claramente o que temos e o que pedem.
  • Dados fornecidos:
    • X\subset\mathbb{N}.
    • a\in\mathbb{N} e a\neq 0.
    • (i) \;a\in X.
    • (ii) \;se n\in X então n+1\in X.
    • Observação: s^{-1}(a) é o antecessor de a (isto é, o número que somado de 1 a), informação dada no enunciado, mas não é necessária para a prova direta pedida.
  • O que o enunciado pede:
    • Mostrar que \{a, a+1, a+2, \ldots\}\subset X.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): provar que todo número da forma a+k, para k=0,1,2,\dots, pertence a X. Isso se faz naturalmente por indução sobre k. Vou explicar o princípio da indução de forma clara.
Princípio da indução (explicado devagar): para mostrar que uma propriedade vale para todos os inteiros k\ge 0, costuma-se fazer duas etapas:
  • base: provar que a propriedade vale para k=0;
  • passo indutivo: supor que vale para um k qualquer (hipótese indutiva) e então provar que isso implica que vale para k+1.
Se ambas as etapas são feitas, então a propriedade vale para todo k\ge0. Aqui a propriedade será: " a+k\in X ".

Passo 3

Base da indução:
  • Para k=0, temos a+0=a.
  • Pelo item (i) do enunciado sabemos que a\in X.
  • Logo a propriedade vale para k=0: a+0\in X.
Isso fecha a base.

Passo 4

Passo indutivo:
  • Suponha (hipótese indutiva) que para algum k\ge 0 vale a+k\in X.
  • Pelo item (ii) do enunciado, sempre que um número n pertence a X então n+1 também pertence a X.
  • Aplique (ii) com n=a+k. Como a+k\in X pela hipótese, então (a+k)+1\in X.
  • Note que (a+k)+1 = a+(k+1).
  • Portanto, a hipótese a+k\in X implica a+(k+1)\in X.
Isso completa o passo indutivo: a validade para k implica a validade para k+1.

Passo 5

Conclusão por indução:
  • Pela base ( k=0) e pelo passo indutivo (se vale para k então vale para k+1), o princípio da indução garante que para todo k\in\mathbb{N} (com k\ge0) temos a+k\in X.
  • Portanto todos os elementos a, a+1, a+2,\ldots pertencem a X.
  • Escrevendo isso em termos de conjuntos, \{a,a+1,a+2,\ldots\} \subset X.

Resposta

\{a, a+1, a+2, \ldots\} \subset X

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