Questão 31 Mostre que para todo n \geq 1, vale a igualdade
n=1+1+1+\cdots+1 \quad(n \text { parcelas }) .

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que, para todo n\ge 1, vale a igualdade
n = 1+1+1+\cdots+1 \quad(n \text{ parcelas}).
Informações dadas:
  • n é um número inteiro e satisfaz n\ge 1.
    O que é pedido:
  • Provar que a soma de n parcelas iguais a 1 é igual a n, para todo n\ge 1.

Passo 2

Plano de resolução (curtinho e útil): vou usar o princípio da indução matemática. Indução é o método padrão para provar afirmações que valem para todos os inteiros n\ge 1. A ideia intuitiva é a do dominó: provar que o primeiro caso “cai” (caso base) e que, se um caso qualquer k “cai”, então o próximo k+1 também “cai” (passo indutivo). Assim todos os inteiros a partir do primeiro ficam provados.

Passo 3

Caso base ( n=1). Aqui precisamos verificar que a igualdade é verdadeira para n=1. Escrevendo:
1 = 1
ou, explicitando o lado direito como soma de uma parcela,
1 = 1 \quad(1 \text{ parcela}).
Isso é obviamente verdadeiro. Portanto o caso base está pronto.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro arbitrário k\ge 1 a afirmação seja verdadeira, isto é, suponha que
k = 1+1+\cdots+1 \quad(k \text{ parcelas}).
Esta é a hipótese que vamos usar para deduzir o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a igualdade vale para n=k+1. Considere a soma de k+1 parcelas iguais a 1. Podemos agrupar as primeiras k parcelas e a última separadamente:
1+1+\cdots+1 \quad(k+1\\ \text{parcelas}) = \bigl(1+1+\cdots+1\bigr)\;+\;1 \quad(k\\ \text{parcelas na primeira soma}).
Pela hipótese de indução, a soma das k primeiras parcelas vale k. Substituindo isso na expressão acima obtemos
\bigl(1+1+\cdots+1\bigr)\;+\;1 = k + 1.
Portanto
1+1+\cdots+1 \quad(k+1\\ \text{parcelas}) = k+1.
Assim mostramos que, se a afirmação vale para k, então vale também para k+1.

Passo 6

Conclusão por indução. Pelo passo do caso base ( n=1) e pelo passo indutivo (se vale para k vale para k+1), pelo princípio da indução matemática a afirmação é verdadeira para todo inteiro n\ge 1. Para fixar a intuição, confira exemplos concretos: para n=2, 2=1+1; para n=3, 3=1+1+1; etc.

Resposta

n = 1+1+1+\cdots+1 \quad(n \text{ parcelas})

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