Questão 31 Mostre que para todo
, vale a igualdade
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que, para todo
, vale a igualdade
Informações dadas:
-
é um número inteiro e satisfaz .
O que é pedido: - Provar que a soma de
parcelas iguais a é igual a , para todo .
Passo 2
Plano de resolução (curtinho e útil): vou usar o princípio da indução matemática. Indução é o método padrão para provar afirmações que valem para todos os inteiros
. A ideia intuitiva é a do dominó: provar que o primeiro caso “cai” (caso base) e que, se um caso qualquer
“cai”, então o próximo
também “cai” (passo indutivo). Assim todos os inteiros a partir do primeiro ficam provados.
Passo 3
Caso base (
). Aqui precisamos verificar que a igualdade é verdadeira para
. Escrevendo:
ou, explicitando o lado direito como soma de uma parcela,
Isso é obviamente verdadeiro. Portanto o caso base está pronto.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro arbitrário
a afirmação seja verdadeira, isto é, suponha que
Esta é a hipótese que vamos usar para deduzir o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a igualdade vale para
. Considere a soma de
parcelas iguais a
. Podemos agrupar as primeiras
parcelas e a última separadamente:
Pela hipótese de indução, a soma das
primeiras parcelas vale
. Substituindo isso na expressão acima obtemos
Portanto
Assim mostramos que, se a afirmação vale para
, então vale também para
.
Passo 6
Conclusão por indução. Pelo passo do caso base (
) e pelo passo indutivo (se vale para
vale para
), pelo princípio da indução matemática a afirmação é verdadeira para todo inteiro
. Para fixar a intuição, confira exemplos concretos: para
,
; para
,
; etc.