Questão 30 Se a, b são números naturais tais que a<b, mostre que a^{n}<b^{n} ; \quad n \geq 1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a e b são números naturais;
  • a<b;
  • n é um inteiro com n\ge 1.
O que nos é pedido:
  • Mostrar que \;a^{n}<b^{n}\; para todo inteiro \;n\ge 1.

Passo 2

Vou resolver por indução em n. Rápida explicação do método (passo-a-passo didático): a indução prova uma propriedade para todos os inteiros n\ge 1 em duas etapas:
  1. Base: verificar que a propriedade vale para n=1.
  2. Passo indutivo: supor que vale para algum n=k (hipótese indutiva) e então provar que vale para n=k+1.
A escolha da indução é natural aqui porque a propriedade envolve potências com expoente n e cada potência se relaciona com a anterior (por exemplo, a^{k+1}=a^k\cdot a). A indução é um método básico e direto para esse tipo de afirmação.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Para n=1 temos
a^1=a < b = b^1,
pois o enunciado já garante a<b. Portanto a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 4

Passo indutivo. Suponha que para algum inteiro k\ge 1 já se tem
a^k < b^k.
Essa é a hipótese indutiva. Queremos mostrar que então
a^{k+1} < b^{k+1}.
Observações úteis sobre multiplicação e ordem: se x<y e t>0 então xt<yt. Aqui todos os números envolvidos são naturais (logo não-negativos) e, como a<b, tem-se b\ge 1 e portanto b>0.
Agora fazemos duas multiplicações simples e encadeamos desigualdades:
  • Como a<b e a^k\ge 0, multiplicando por a^k obtemos
a^k\cdot a < a^k\cdot b.
Mas a^k\cdot a = a^{k+1}, então
a^{k+1} < a^k b.
  • Pela hipótese indutiva a^k < b^k. Multiplicando essa desigualdade por b>0 obtemos
a^k b < b^k b = b^{k+1}.
Combinando as duas desigualdades achamos a cadeia
a^{k+1} < a^k b < b^{k+1},
o que implica em particular que
a^{k+1} < b^{k+1}.
Assim o passo indutivo está completo.

Passo 5

Como a propriedade é verdadeira para n=1 e o passo indutivo foi provado, pelo princípio da indução matemática a desigualdade
a^n < b^n
vale para todo inteiro n\ge 1.
Comentário didático rápido e incentivo: a ideia central é que multiplicar por um número maior preserva e aumenta a vantagem (se b>a então multiplicar por b cresce mais do que multiplicar por a). Isso já garante a desigualdade para potências, e a indução organiza esse raciocínio formalmente. Vai dar certo na prova — respira fundo e pratica alguns exemplos (por exemplo, com a=2,b=3 e n=4: 2^4=16<81=3^4).

Resposta

\;a^{n}<b^{n}\; para todo inteiro \;n\ge 1.

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