Questão 30 Se
são números naturais tais que
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são números naturais; -
; -
é um inteiro com .
O que nos é pedido:
- Mostrar que
para todo inteiro .
Passo 2
Vou resolver por indução em
. Rápida explicação do método (passo-a-passo didático): a indução prova uma propriedade para todos os inteiros
em duas etapas:
- Base: verificar que a propriedade vale para
. - Passo indutivo: supor que vale para algum
(hipótese indutiva) e então provar que vale para .
A escolha da indução é natural aqui porque a propriedade envolve potências com expoente
e cada potência se relaciona com a anterior (por exemplo,
). A indução é um método básico e direto para esse tipo de afirmação.
Passo 3
Base da indução (
). Para
temos
pois o enunciado já garante
. Portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo 4
Passo indutivo. Suponha que para algum inteiro
já se tem
Essa é a hipótese indutiva. Queremos mostrar que então
Observações úteis sobre multiplicação e ordem: se
e
então
. Aqui todos os números envolvidos são naturais (logo não-negativos) e, como
, tem-se
e portanto
.
Agora fazemos duas multiplicações simples e encadeamos desigualdades:
- Como
e , multiplicando por obtemos
Mas
, então
- Pela hipótese indutiva
. Multiplicando essa desigualdade por obtemos
Combinando as duas desigualdades achamos a cadeia
o que implica em particular que
Assim o passo indutivo está completo.
Passo 5
Como a propriedade é verdadeira para
e o passo indutivo foi provado, pelo princípio da indução matemática a desigualdade
vale para todo inteiro
.
Comentário didático rápido e incentivo: a ideia central é que multiplicar por um número maior preserva e aumenta a vantagem (se
então multiplicar por
cresce mais do que multiplicar por
). Isso já garante a desigualdade para potências, e a indução organiza esse raciocínio formalmente. Vai dar certo na prova — respira fundo e pratica alguns exemplos (por exemplo, com
e
:
).