O vetor posição de um ponto A em relação à origem varia com o tempo t de acordo com
\overrightarrow{\mathbf{r}}=\alpha t \hat{i}-\beta t^{2} \hat{j},
onde \alpha e \beta são constantes positivas, e \hat{i} e \hat{j} são os vetores unitários dos eixos x e y. Encontre:
a) a dependência temporal dos vetores velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}} e aceleração \overrightarrow{\mathbf{a}}, bem como dos módulos dessas grandezas;
b) o vetor velocidade média calculado ao longo dos primeiros t segundos de movimento e o módulo desse vetor;
c) a função y(x).
a) \overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\alpha\,\hat{i}-2\beta\,t\,\hat{j},\quad \overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=-2\beta\,\hat{j};\quad |\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)|=\sqrt{\alpha^{2}+4\beta^{2}t^{2}},\quad |\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)|=2\beta.
b) \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\mathrm{m}}=\alpha\,\hat{i}-\beta\,t\,\hat{j},\quad |\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\mathrm{m}}|=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}.
c) y(x)=-\dfrac{\beta}{\alpha^{2}}\,x^{2}.