Questão 32.

O vetor posição de um ponto A em relação à origem varia com o tempo t de acordo com
\overrightarrow{\mathbf{r}}=\alpha t \hat{i}-\beta t^{2} \hat{j},
onde \alpha e \beta são constantes positivas, e \hat{i} e \hat{j} são os vetores unitários dos eixos x e y. Encontre:
a) a dependência temporal dos vetores velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}} e aceleração \overrightarrow{\mathbf{a}}, bem como dos módulos dessas grandezas;
b) o vetor velocidade média calculado ao longo dos primeiros t segundos de movimento e o módulo desse vetor;
c) a função y(x).

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição
\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\alpha\,t\,\hat{i}-\beta\,t^{2}\,\hat{j}
com \alpha,\beta>0. Precisamos obter
  1. os vetores velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}}(t) e aceleração \overrightarrow{\mathbf{a}}(t) e seus módulos;
  2. o vetor velocidade média nos primeiros t segundos e seu módulo;
  3. a equação da trajetória y(x).

Passo 2

Para achar \overrightarrow{\mathbf{v}}(t) e \overrightarrow{\mathbf{a}}(t) usamos derivação temporal de \overrightarrow{\mathbf{r}}(t). Assim,
\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\frac{d\overrightarrow{\mathbf{r}}}{dt} =\alpha\,\hat{i}-2\beta\,t\,\hat{j},
\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=\frac{d\overrightarrow{\mathbf{v}}}{dt} =-2\beta\,\hat{j}.
Os módulos ficam
\bigl|\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)\bigr| =\sqrt{\alpha^{2}+( -2\beta\,t)^{2}} =\sqrt{\alpha^{2}+4\beta^{2}t^{2}},
\bigl|\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)\bigr| =|-2\beta|=2\beta.

Passo 3

A velocidade média \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\mathrm{m}} em 0\le t'\le t é
\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\mathrm{m}} =\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)-\overrightarrow{\mathbf{r}}(0)}{t} =\frac{\bigl(\alpha\,t\,\hat{i}-\beta\,t^{2}\,\hat{j}\bigr)-\mathbf{0}}{t} =\alpha\,\hat{i}-\beta\,t\,\hat{j}.
Seu módulo é
\bigl|\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\mathrm{m}}\bigr| =\sqrt{\alpha^{2}+(-\beta\,t)^{2}} =\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}.

Passo 4

Para obter y(x) eliminamos o parâmetro t. Da componente x=\alpha\,t vem
t=\frac{x}{\alpha}.
Na componente y=-\beta\,t^{2} substituímos t:
y(x) =-\beta\biggl(\frac{x}{\alpha}\biggr)^{2} =-\frac{\beta}{\alpha^{2}}\,x^{2}.

Resposta

a) \overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\alpha\,\hat{i}-2\beta\,t\,\hat{j},\quad \overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=-2\beta\,\hat{j};\quad |\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)|=\sqrt{\alpha^{2}+4\beta^{2}t^{2}},\quad |\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)|=2\beta.
b) \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\mathrm{m}}=\alpha\,\hat{i}-\beta\,t\,\hat{j},\quad |\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\mathrm{m}}|=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}.
c) y(x)=-\dfrac{\beta}{\alpha^{2}}\,x^{2}.

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