Questão 33. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\left{ \begin{aligned} y^{\prime} & =\frac{y+1}{x} \\ y(1) & =0\end{aligned} \quad(\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y' = \frac{y+1}{x},\\\ y(1)=0. \end{cases}
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos escrever no formato padrão e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação em forma linear padrão, isolando y' e y:
y' - \frac{1}{x}\,y = \frac{1}{x}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x). Como o coeficiente de y é -1/x, temos
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-\ln x) = x^{-1}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x^{-1}. O lado esquerdo se torna a derivada de y\mu:
\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr),
portanto obtemos
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \frac{1}{x^2}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
\frac{y}{x} = \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C.

Passo 5

Isolamos y:
y = -1 + C\,x.
Para determinar C, usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = -1 + C\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 1.
Logo a solução do PVI é y = -1 + x.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = x - 1.

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