Questão 33. Sejam as reações paralelas, ambas de 1{ }^{\text {a }} ordem:
\left\{\begin{array}{l} A \xrightarrow{k_{1}} B \\\ A \xrightarrow{k_{2}} C \end{array}\right.
Os tempos de meia-vida para as formações de B e C são, respectivamente, 25 minutos e 200 minutos. Determine o tempo de meia-vida para a decomposição de A, em minutos.
\mathbf{A}(~) 22,2
B ( ) 39,5
C ( ) 80,0
D( ) 112
E ( ) 225

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um único valor:
  • Reações paralelas (ambas de 1ª ordem): A \xrightarrow{k_1} B,\qquad A \xrightarrow{k_2} C.
  • Os tempos de meia-vida para as formações de B e C são, respectivamente, 25 minutos e 200 minutos.
  • Pergunta: determinar o tempo de meia-vida para a decomposição de A (em minutos).

Passo 2

Entender a relação meia-vida ↔ constante de velocidade para uma reação de 1ª ordem (passo didático).
  • Para uma reação de 1ª ordem com constante k, a concentração de A decai segundo
[A](t) = [A]_0 e^{-k t},
onde [A]_0 é a concentração inicial e t é o tempo.
  • A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que [A](t_{1/2}) = \tfrac{1}{2}[A]_0. Aplicando isso:
\tfrac{1}{2}[A]_0 = [A]_0 e^{-k t_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
  • Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2} \quad\Rightarrow\quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Aqui t_{1/2} está em unidades de tempo (minutos) e k tem unidade \text{min}^{-1}.

Passo 3

Como são reações paralelas, a perda total de A é a soma das taxas individuais. Escrevendo a equação diferencial:
\frac{d[A]}{dt} = -k_1[A] - k_2[A] = -(k_1+k_2)[A].
Portanto a decomposição global de A é também de 1ª ordem com constante efetiva
k_{\text{tot}} = k_1 + k_2.
Isso significa que a meia-vida da decomposição de A é
t_{1/2,\;A} = \frac{\ln 2}{k_{\text{tot}}} = \frac{\ln 2}{k_1+k_2}.

Passo 4

Aproveitar os meia-vidas dados para obter k_1 e k_2.
  • Para a formação de B foi dado t_{1/2,B}=25 min, e pela fórmula acima:
k_1 = \frac{\ln 2}{t_{1/2,B}} = \frac{\ln 2}{25}.
  • Para a formação de C foi dado t_{1/2,C}=200 min:
k_2 = \frac{\ln 2}{t_{1/2,C}} = \frac{\ln 2}{200}.

Passo 5

Calcular a constante total k_{\text{tot}}:
k_{\text{tot}} = k_1+k_2 = \ln 2\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{200}\right).
Fazer a soma das frações passo a passo: \dfrac{1}{25}=\dfrac{8}{200}, logo
\frac{1}{25}+\frac{1}{200}=\frac{8}{200}+\frac{1}{200}=\frac{9}{200}.
Portanto
k_{\text{tot}} = \ln 2\cdot\frac{9}{200}.

Passo 6

Calcular a meia-vida de A usando t_{1/2,\;A}=\dfrac{\ln 2}{k_{\text{tot}}}:
t_{1/2,\;A} = \frac{\ln 2}{\ln 2\cdot\dfrac{9}{200}} = \frac{1}{\dfrac{9}{200}} = \frac{200}{9}.
Fazendo a divisão:
\frac{200}{9}=22{,}222\ldots\\ \text{minutos},
arredondando para uma casa decimal (como as alternativas), fica 22{,}2 minutos.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: saiu aquele resultado simpático 200/9, que dá exatamente a alternativa correta. Tá indo bem — essa técnica (somar constantes em reações paralelas) é rápida e aparece muito em prova.

Resposta

22{,}2\\ \text{minutos}

Exercícios relacionados