Questão 34
Uma pessoa decide investir
5.000,00
2 %
1,02^{12}=1,27
(B)
83.500,00$
(C)
51.700,00$
(D)
67.500,00$
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Depósito mensal:
. - Taxa de juros compostos mensal:
. - Período total:
meses (1 ano). - Informação numérica fornecida:
. - Pergunta: determinar o valor acumulado do investimento após 12 meses, ou seja, o montante final formado pelas 12 aplicações mensais e pelos juros.
- São apresentadas quatro alternativas (A), (B), (C), (D) e devemos escolher a correta.
Passo 2
Entendendo o que significa “valor acumulado” quando se faz aportes mensais: a pessoa aplica
no final de cada mês (convenção usual). Cada aporte rende juros compostos até o fim do período de 12 meses; o primeiro depósito (feito no fim do mês 1) ficará aplicado por 11 meses, o segundo por 10 meses, … e o último depósito (feito no fim do mês 12) não rende juros porque é feito exatamente no instante final. Para organizar isso usamos a soma das parcelas acumuladas ao final de 12 meses.
Definições das variáveis que vamos usar:
-
é o valor do depósito periódico (no nosso caso ). -
é a taxa de juros por período (mensal) (no nosso caso ). -
é o número total de depósitos/períodos (no nosso caso ). -
será o valor acumulado (montante) ao final dos períodos.
Passo 3
Escrevendo a soma das parcelas acumuladas ao final de 12 meses: o depósito feito no mês
(contando
para o primeiro depósito até
para o último) será multiplicado por
ao final do mês 12. Portanto o montante
pode ser escrito como soma geométrica:
Colocando em forma de soma com índice que vai de
a
,
Isto é uma soma de termos de uma progressão geométrica (PG) com razão
.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da soma dos primeiros
termos de uma PG para transformar a soma em uma expressão fechada. A soma de
termos de uma PG com primeiro termo
e razão
é
Aqui
. Substituindo na expressão de
obtemos a fórmula do montante de uma anuidade ordinária (depósitos no fim de cada período):
Explicando: o numerador
representa o acúmulo equivalente do fator geométrico até
, e o denominador
normaliza pela taxa por período.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula com os números do problema. Substituindo
,
e
:
O enunciado nos deu que
. Substituindo:
Calcule o numerador e a divisão passo a passo:
Portanto
Para escrever como valor monetário:
.
Passo 6
Verificação de plausibilidade (cheque rápido): sem juros, 12 depósitos de
dariam
. Com juros positivos o montante deve ser maior que isso;
é coerente. Observação adicional: se os depósitos fossem feitos no início de cada mês (anuidade devida), o montante seria um fator
maior, ou seja
, apenas para comparação.
Resposta
(D)