Questão 34

Uma pessoa decide investir \mathrm{R} \ 5.000,00 mensalmente em um fundo de investimento que rende juros compostos mensais de2 % . Determine o valor acumulado do investimento após 1 ano (12 meses). Considere queó1,02^{12}=1,27 . (A) \(\mathrm{R} \\) 56.400,00
(B) \mathrm{R} \ 83.500,00$
(C) \mathrm{R} \ 51.700,00$
(D) \mathrm{R} \ 67.500,00$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Depósito mensal: \,P = \mathrm{R}\$\;5.000,00.
  • Taxa de juros compostos mensal: \,i = 2\% = 0,02.
  • Período total: \,n = 12 meses (1 ano).
  • Informação numérica fornecida: \,1,02^{12} = 1,27.
  • Pergunta: determinar o valor acumulado do investimento após 12 meses, ou seja, o montante final formado pelas 12 aplicações mensais e pelos juros.
  • São apresentadas quatro alternativas (A), (B), (C), (D) e devemos escolher a correta.

Passo 2

Entendendo o que significa “valor acumulado” quando se faz aportes mensais: a pessoa aplica \,P no final de cada mês (convenção usual). Cada aporte rende juros compostos até o fim do período de 12 meses; o primeiro depósito (feito no fim do mês 1) ficará aplicado por 11 meses, o segundo por 10 meses, … e o último depósito (feito no fim do mês 12) não rende juros porque é feito exatamente no instante final. Para organizar isso usamos a soma das parcelas acumuladas ao final de 12 meses.
Definições das variáveis que vamos usar:
  • \,P é o valor do depósito periódico (no nosso caso \,P=\mathrm{R}\$\,5.000,00).
  • \,i é a taxa de juros por período (mensal) (no nosso caso \,i=0,02).
  • \,n é o número total de depósitos/períodos (no nosso caso \,n=12).
  • \,S será o valor acumulado (montante) ao final dos \,n períodos.

Passo 3

Escrevendo a soma das parcelas acumuladas ao final de 12 meses: o depósito feito no mês k (contando k=1 para o primeiro depósito até k=12 para o último) será multiplicado por (1+i)^{12-k} ao final do mês 12. Portanto o montante S pode ser escrito como soma geométrica:
S = P(1+i)^{11} + P(1+i)^{10} + \cdots + P(1+i)^1 + P(1+i)^0.
Colocando em forma de soma com índice que vai de 0 a n-1,
S = P \sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k.
Isto é uma soma de termos de uma progressão geométrica (PG) com razão (1+i).

Passo 4

Vamos usar a fórmula da soma dos primeiros n termos de uma PG para transformar a soma em uma expressão fechada. A soma de n termos de uma PG com primeiro termo 1 e razão r é
\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{r^n - 1}{r - 1},\quad \text{para } r\neq 1.
Aqui r = 1+i. Substituindo na expressão de S obtemos a fórmula do montante de uma anuidade ordinária (depósitos no fim de cada período):
S = P \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i) - 1} = P \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}.
Explicando: o numerador (1+i)^n - 1 representa o acúmulo equivalente do fator geométrico até n, e o denominador i normaliza pela taxa por período.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula com os números do problema. Substituindo P=\mathrm{R}\$\,5.000,00, i=0,02 e n=12:
S = 5000 \cdot \frac{(1+0,02)^{12} - 1}{0,02}.
O enunciado nos deu que (1,02)^{12} = 1,27. Substituindo:
S = 5000 \cdot \frac{1,27 - 1}{0,02}.
Calcule o numerador e a divisão passo a passo:
1,27 - 1 = 0,27.
\frac{0,27}{0,02} = \frac{27}{2} \cdot \frac{0,01}{0,01} = 13,5.
Portanto
S = 5000 \times 13,5 = 67.500.
Para escrever como valor monetário: \,S=\mathrm{R}\$\,67.500,00.

Passo 6

Verificação de plausibilidade (cheque rápido): sem juros, 12 depósitos de \mathrm{R}\$\,5.000,00 dariam 12\times5000=\mathrm{R}\$\,60.000,00. Com juros positivos o montante deve ser maior que isso; \mathrm{R}\$\,67.500,00 é coerente. Observação adicional: se os depósitos fossem feitos no início de cada mês (anuidade devida), o montante seria um fator 1+i maior, ou seja 67.500\times1,02=68.850, apenas para comparação.

Resposta

(D) \mathrm{R}\$\,67.500,00

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