Questão 35
Uma fábrica de brinquedos está desenvolvendo um novo jogo de tabuleiro educativo. Uma das etapas do jogo envolve a construção de uma torre usando exatamente 1000 blocos. Cada nível da torre deve usar um número de blocos igual ao fatorial de um número natural n. Para garantir que a torre seja construída corretamente, o projetista precisa determinar o menor valor de n tal que
seja divisível por 1000 blocos. Determine qual é o valor de n .
(A) 15
(B) 5
(C) 20
(D) 10
(A) 15
(B) 5
(C) 20
(D) 10
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar o menor valor de
tal que
seja divisível por
.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A quantidade a ser dividida é
. - A expressão a verificar é o fatorial
, ou seja, o produto dos naturais de até : . - Queremos o menor
(ou seja, o menor natural) que satisfaça a divisibilidade.
Passo 2
Fatoração prima de
. Isso é importante porque para saber se
é divisível por
precisamos comparar fatores primos.
Calcule a fatoração de
:
Portanto, a condição "
divisível por
" é equivalente a:
- o expoente de
em ser pelo menos , e - o expoente de
em ser pelo menos .
Em notação de valuations: precisamos de
e
.
Passo 3
Como contar quantas vezes um primo
aparece em
? (fórmula e intuição)
A regra (fórmula de Legendre) diz que o expoente de um primo
em
é
onde
é a parte inteira de
. Intuição rápida: cada múltiplo de
contribui com pelo menos um
; cada múltiplo de
contribui com um
extra; cada múltiplo de
contribui com outro, e assim por diante.
Exemplo simples: para
e
,
porque há cinco múltiplos de
até
(5,10,15,20,25) e o
traz um
extra.
Passo 4
Identificar qual primo é limitante. Em fatoriais,
aparece muito mais vezes que
(pois pares são bem frequentes), então normalmente o número de
s é o que limita a divisibilidade por potências de
. Vamos verificar
exigindo
.
Aplicando a fórmula para
:
Precisamos achar o menor
tal que essa soma seja pelo menos
.
Testes:
- Para
:
Logo
não basta.
- Para
:
Ainda não basta.
- Para
:
Aqui já temos
, ou seja,
contém pelo menos três fatores
.
Como os valores de
aumentam só quando
passa por múltiplos de
(e mais ao passar de
, etc.), e vimos que em
era
e em
virou
, concluímos que o menor
que dá
é
.
Passo 5
Agora verificar o
: precisamos de
. Calcule
para garantir que
aparece.
Use a fórmula para
:
Calculando:
Portanto
. Assim, os fatores de
não são problema — há muitos mais que os três necessários.
Passo 6
Conclusão lógica: o fator limitante foi o
, e o menor
com
foi
. Como também temos
, segue que
é divisível por
. Não existe
que satisfaça
, então
é realmente o menor valor pedido.
Resposta
15