Questão 35

Uma fábrica de brinquedos está desenvolvendo um novo jogo de tabuleiro educativo. Uma das etapas do jogo envolve a construção de uma torre usando exatamente 1000 blocos. Cada nível da torre deve usar um número de blocos igual ao fatorial de um número natural n. Para garantir que a torre seja construída corretamente, o projetista precisa determinar o menor valor de n tal que \mathrm{n}! seja divisível por 1000 blocos. Determine qual é o valor de n .
(A) 15
(B) 5
(C) 20
(D) 10

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o menor valor de n tal que n! seja divisível por 1000.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A quantidade a ser dividida é 1000.
  • A expressão a verificar é o fatorial n!, ou seja, o produto dos naturais de 1 até n: n! = 1\cdot2\cdot3\cdots n.
  • Queremos o menor n (ou seja, o menor natural) que satisfaça a divisibilidade.

Passo 2

Fatoração prima de 1000. Isso é importante porque para saber se n! é divisível por 1000 precisamos comparar fatores primos.
Calcule a fatoração de 1000:
1000 = 10^3 = (2\cdot 5)^3 = 2^3\cdot 5^3.
Portanto, a condição " n! divisível por 1000 " é equivalente a:
  • o expoente de 2 em n! ser pelo menos 3, e
  • o expoente de 5 em n! ser pelo menos 3.
Em notação de valuations: precisamos de v_2(n!)\ge 3 e v_5(n!)\ge 3.

Passo 3

Como contar quantas vezes um primo p aparece em n!? (fórmula e intuição)
A regra (fórmula de Legendre) diz que o expoente de um primo p em n! é
v_p(n!)=\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor+\cdots
onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira de x. Intuição rápida: cada múltiplo de p contribui com pelo menos um p; cada múltiplo de p^2 contribui com um p extra; cada múltiplo de p^3 contribui com outro, e assim por diante.
Exemplo simples: para p=5 e n=26,
v_5(26!)=\left\lfloor\frac{26}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{26}{25}\right\rfloor=5+1=6,
porque há cinco múltiplos de 5 até 26 (5,10,15,20,25) e o 25 traz um 5 extra.

Passo 4

Identificar qual primo é limitante. Em fatoriais, 2 aparece muito mais vezes que 5 (pois pares são bem frequentes), então normalmente o número de 5s é o que limita a divisibilidade por potências de 10. Vamos verificar v_5(n!) exigindo v_5(n!)\ge 3.
Aplicando a fórmula para p=5:
v_5(n!)=\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{125}\right\rfloor+\cdots
Precisamos achar o menor n tal que essa soma seja pelo menos 3.
Testes:
  • Para n=10:
v_5(10!)=\left\lfloor\frac{10}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{25}\right\rfloor=2+0=2<3.
Logo n=10 não basta.
  • Para n=14:
v_5(14!)=\left\lfloor\frac{14}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{25}\right\rfloor=2+0=2<3.
Ainda não basta.
  • Para n=15:
v_5(15!)=\left\lfloor\frac{15}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{25}\right\rfloor=3+0=3.
Aqui já temos v_5(15!)=3, ou seja, 15! contém pelo menos três fatores 5.
Como os valores de v_5(n!) aumentam só quando n passa por múltiplos de 5 (e mais ao passar de 25, etc.), e vimos que em n=14 era 2 e em n=15 virou 3, concluímos que o menor n que dá v_5(n!)\ge3 é n=15.

Passo 5

Agora verificar o 2: precisamos de v_2(n!)\ge 3. Calcule v_2(15!) para garantir que 2^3 aparece.
Use a fórmula para p=2:
v_2(15!)=\left\lfloor\frac{15}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{16}\right\rfloor+\cdots
Calculando:
v_2(15!)=7+3+1+0+\cdots=11.
Portanto v_2(15!)=11\ge 3. Assim, os fatores de 2 não são problema — há muitos mais que os três necessários.

Passo 6

Conclusão lógica: o fator limitante foi o 5, e o menor n com v_5(n!)\ge 3 foi n=15. Como também temos v_2(15!)\ge 3, segue que 15! é divisível por 2^3\cdot 5^3=1000. Não existe n<15 que satisfaça v_5(n!)\ge3, então 15 é realmente o menor valor pedido.

Resposta

15

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