Questão 36

Durante um curso de sistemas de controle, um estudante é solicitado a converter o número complexo z=(1-i) para a forma polar para simplificar a análise de um sistema dinâmico. Determine qual é a forma polar de z.
(A) \sqrt{2} e^{i 3 \pi / 4}
(B) \sqrt{2} e^{-i \pi / 4}
(C) \sqrt{2} e^{i \pi / 4}
(D) 2 e^{-i \pi / 4}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número complexo z=(1-i) para a forma polar e apresenta quatro alternativas. Informações dadas:
z = 1 - i.
Pergunta: qual é a forma polar de z entre as opções (A), (B), (C) e (D).

Passo 2

Vamos identificar as partes reais e imaginárias de z. Num número complexo escrito na forma cartesiana x+iy, temos:
x=\text{parte real},\qquad y=\text{parte imaginária}.á
No nosso caso:
x=1,\qquad y=-1.

Passo 3

Calcular o módulo r (distância ao origem) usando a fórmula
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicando: isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao ponto (x,y) no plano complexo. Substituindo:
r=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular o argumento \theta (ângulo com o eixo real) usando a fórmula básica
\theta=\operatorname{atan2}(y,x),
ou, de forma mais elementar, \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) ajustando pelo quadrante quando necessário. Aqui:
\frac{y}{x}=\frac{-1}{1}=-1,
então \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Verificar o quadrante para ter certeza do sinal do ângulo. Como x=1>0 e y=-1<0, o ponto está no quarto quadrante; o valor \theta=-\dfrac{\pi}{4} (ângulo negativo medido a partir do eixo positivo x) está correto e não precisa de correção.

Passo 6

Lembrando a forma polar (ou forma exponencial) de um complexo:
z = r\,e^{i\theta},
onde r é o módulo e \theta o argumento. Substituindo os valores que encontramos:
r=\sqrt{2},\qquad \theta=-\dfrac{\pi}{4}.

Resposta

(B) \sqrt{2} e^{-i \pi / 4}

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