Questão 34. Sejam
um anel comutativo com identidade e
. Mostre que
se, e somente se,
, para algum
.
Passo 1
Estamos em um anel comutativo com identidade
e dados
. Lembrando que o ideal principal gerado por
é
e de modo análogo
. Precisamos mostrar a equivalência
Passo 2
(Prova de “
”) Suponha que
. Então, em particular,
e, por inclusão,
. Mas pertencer a
significa que existe
tal que
Isso mostra a primeira implicação.
Passo 3
(Prova de “
”) Agora suponha que
para algum
. Seja um elemento genérico de
, digamos
com
. Então
ou seja,
. Como isso vale para todo gerador
de
, concluímos
.
Resposta
Ficou demonstrado que
se, e somente se, existe
tal que
.