Questão 35. Sejam
um domínio e
. Mostre que
se, e somente se,
, para algum
.
Passo 1
O enunciado está em um domínio comutativo
e pede para mostrar que dois ideais principais gerados por
e por
são iguais, isto é,
se, e somente se, existe uma unidade
tal que
Para isso vamos usar a definição de ideal principal
, a definição de unidade e a propriedade de cancelamento do domínio.
Passo 2
Prova de “
com
unidade”.
Como , temos inclusão em ambos os sentidos:
Como
-
implica que existe com
-
implica que existe com
Substituindo
em
dá
Se
, cancelamos
(propriedade do domínio) e obtemos
o que mostra que
é invertível, ou seja,
. Se
, então
e basta tomar
, que também é unidade. Em qualquer caso escrevemos
com
unidade; basta então definir
para concluir
.
Passo 3
Prova de “
com
unidade
”.
Se com
, então todo elemento de
é da forma
Se
logo
. Reciprocamente, como
tem inverso
,
mostra
. Daí
.
Resposta
Mostramos que
se, e somente se, existe
tal que