Questão 35. Sejam A um domínio e a, b \in A. Mostre que (a)=(b) se, e somente se, a=u b, para algum u \in \mathcal{U}(A).

Passo 1

O enunciado está em um domínio comutativo A e pede para mostrar que dois ideais principais gerados por a e por b são iguais, isto é,
(a) = (b),
se, e somente se, existe uma unidade u\in\mathcal{U}(A) tal que
a = u\,b.
Para isso vamos usar a definição de ideal principal (a)=\{a\,x\mid x\in A\}, a definição de unidade e a propriedade de cancelamento do domínio.

Passo 2

Prova de “ (a)=(b) \implies a=u\,b com u unidade”.
Como (a)=(b), temos inclusão em ambos os sentidos:
  1. a\in(b) implica que existe x\in A com
a = b\,x.
  1. b\in(a) implica que existe y\in A com
b = a\,y.
Substituindo a=b\,x em b=a\,y
b = (b\,x)\,y = b\,(x\,y).
Se b\neq 0, cancelamos b (propriedade do domínio) e obtemos
x\,y = 1,
o que mostra que x é invertível, ou seja, x\in\mathcal{U}(A). Se b=0, então a= b\,x=0 e basta tomar u=1, que também é unidade. Em qualquer caso escrevemos
a = b\,x,
com x unidade; basta então definir u = x para concluir a = u\,b.

Passo 3

Prova de “ a = u\,b com u unidade \implies (a)=(b)”.
Se a = u\,b com u\in\mathcal{U}(A), então todo elemento de (a) é da forma
a\,r = (u\,b)\,r = b\,(u\,r),
logo (a)\subseteq(b). Reciprocamente, como u tem inverso u^{-1},
b\,s = u^{-1}a\,s
mostra (b)\subseteq(a). Daí (a)=(b).

Resposta

Mostramos que (a)=(b) se, e somente se, existe u\in\mathcal{U}(A) tal que
a = u\,b.

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