Questão 34 (UNIMONTES / 2001)
Se z=x+y i é um número complexo imaginário puro, tal que 9 z^{3} e 4 z têm o mesmo módulo, então z é igual a:
a) 2+\frac{2}{3} \mathrm{i} ou -2+\frac{2}{3} \mathrm{i}
b) \frac{4}{9} i ou -\frac{4}{9} i
c) \frac{2}{3} \mathrm{i} ou -\frac{2}{3} \mathrm{i}
d) \frac{2}{3} ou -\frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado dá que z=x+y\mathrm{i} é um número complexo imaginário puro e que 9z^{3} e 4z têm o mesmo módulo. As perguntas implícitas são: quais valores de z satisfazem essa condição? As informações relevantes são:
  • z=x+y\mathrm{i} é imaginário puro (ou seja, a parte real é zero).
  • |9z^{3}| = |4z|.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “imaginário puro” e o que é módulo de um complexo, porque isso vai nos salvar na prova.
  • “Imaginário puro” quer dizer que a parte real é zero, então x=0 e podemos escrever z=y\mathrm{i}.
  • O módulo de um número complexo w=a+b\mathrm{i} é |w|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. No caso de z=y\mathrm{i} isso vira |z|=|y|.
    Também usaremos duas propriedades importantes do módulo:
  • Para qualquer número complexo w e escalar real/complexo c, vale |c\,w|=|c|\,|w|.
  • Para potência inteira positiva: |w^{n}|=|w|^{n}.
Vou explicar rapidinho: a propriedade |w^{n}|=|w|^{n} vem de multiplicar w por si mesmo n vezes e aplicar |ab|=|a||b| recursivamente. Essas propriedades são muito usadas em prova porque transformam igualdade de módulos em equações entre módulos simples.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao enunciado, calculamos os dois módulos:
|9z^{3}| = 9\,|z^{3}| = 9\,|z|^{3}
|4z| = 4\,|z|
A condição do enunciado é |9z^{3}| = |4z|, então substituindo temos a equação
9\,|z|^{3} = 4\,|z|.

Passo 4

Resolvemos a equação \;9\,|z|^{3}=4\,|z|. Podemos reorganizar tirando fator comum |z|:
|z|\bigl(9\,|z|^{2}-4\bigr)=0.
Dessa fatoração saem duas possibilidades:
  • |z|=0, ou
  • 9\,|z|^{2}-4=0, ou seja 9\,|z|^{2}=4 que dá |z|^{2}=\frac{4}{9} e portanto |z|=\frac{2}{3} (tomamos a raiz positiva porque módulo é não negativo).

Passo 5

Voltando ao fato de que z é imaginário puro, escrevemos z=y\mathrm{i} e então |z|=|y|. Das possibilidades do passo anterior obtemos:
  • |y|=0 que dá y=0 e z=0. (Isso satisfaz a equação, mas não aparece entre as alternativas fornecidas.)
  • |y|=\frac{2}{3} que dá y=\pm\frac{2}{3} e, portanto, z=\pm\frac{2}{3}\mathrm{i}.
Agora basta conferir as alternativas: a que contém \frac{2}{3}\mathrm{i} e -\frac{2}{3}\mathrm{i} é a alternativa (c).

Resposta

\frac{2}{3}\mathrm{i} ou -\frac{2}{3}\mathrm{i}

Exercícios relacionados