Questão 34 (UNIMONTES / 2001)
Se
é um número complexo imaginário puro, tal que
e
têm o mesmo módulo, então
é igual a:
a)
ou
b)
ou
c)
ou
d)
ou
Se
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá que
é um número complexo imaginário puro e que
e
têm o mesmo módulo. As perguntas implícitas são: quais valores de
satisfazem essa condição? As informações relevantes são:
-
é imaginário puro (ou seja, a parte real é zero). -
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa “imaginário puro” e o que é módulo de um complexo, porque isso vai nos salvar na prova.
- “Imaginário puro” quer dizer que a parte real é zero, então
e podemos escrever . - O módulo de um número complexo
é . No caso de isso vira .
Também usaremos duas propriedades importantes do módulo: - Para qualquer número complexo
e escalar real/complexo , vale . - Para potência inteira positiva:
.
Vou explicar rapidinho: a propriedade
vem de multiplicar
por si mesmo
vezes e aplicar
recursivamente. Essas propriedades são muito usadas em prova porque transformam igualdade de módulos em equações entre módulos simples.
Passo 3
Aplicando as propriedades ao enunciado, calculamos os dois módulos:
A condição do enunciado é
, então substituindo temos a equação
Passo 4
Resolvemos a equação
. Podemos reorganizar tirando fator comum
:
Dessa fatoração saem duas possibilidades:
-
, ou -
, ou seja que dá e portanto (tomamos a raiz positiva porque módulo é não negativo).
Passo 5
Voltando ao fato de que
é imaginário puro, escrevemos
e então
. Das possibilidades do passo anterior obtemos:
-
que dá e . (Isso satisfaz a equação, mas não aparece entre as alternativas fornecidas.) -
que dá e, portanto, .
Agora basta conferir as alternativas: a que contém
e
é a alternativa (c).