Questão 33 (Mack - SP)
O valor de (1+\mathrm{i})^{12}-(1-\mathrm{i})^{12}, onde \mathrm{i}^{2}=-1 é igual a:
a)
-128 i
b) -128
c) 128
d) 128 i
e) 0

Passo 1

O enunciado pede o valor de (1+\mathrm{i})^{12}-(1-\mathrm{i})^{12}, sabendo que \mathrm{i}^{2}=-1.\n
Informações relevantes dadas:
  • Os números complexos envolvidos são 1+\mathrm{i} e 1-\mathrm{i}.
  • Precisamos calcular as duas potências de expoente 12 e então subtrair uma da outra.
  • As opções de resposta incluem 0, portanto pode ser que as duas potências sejam iguais.

Passo 2

Vamos transformar 1+\mathrm{i} e 1-\mathrm{i} em forma polar (módulo e argumento). Isso facilita elevar à potência 12.\n
Definições rápidas (aula mastigada):
  • O módulo de um complexo x+\mathrm{i}y é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Ele mede “o tamanho” do número no plano.
  • O argumento é o ângulo \theta tal que \tan\theta=\dfrac{y}{x} (atenção ao quadrante). Em forma polar escrevemos r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) ou re^{\mathrm{i}\theta}.
  • Regra de potência (fórmula de De Moivre / propriedade de exponenciação): (re^{\mathrm{i}\theta})^{n}=r^{n}e^{\mathrm{i}n\theta}. Isso significa que elevamos o módulo à potência n e multiplicamos o argumento por n.\n
    Agora aplicando:
  • Para 1+\mathrm{i}: o módulo é \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}. O argumento é \theta=\arctan(1/1)=\pi/4 (primeiro quadrante). Portanto
1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\,e^{\mathrm{i}\pi/4}.
  • Para 1-\mathrm{i}: o módulo é também \sqrt{2}. O argumento é -\pi/4 (quarto quadrante), então
1-\mathrm{i}=\sqrt{2}\,e^{-\mathrm{i}\pi/4}.

Passo 3

Agora elevamos cada um à potência 12 usando a propriedade explicada.\n
Calculemos primeiro o módulo elevado:
(\sqrt{2})^{12}=(2^{1/2})^{12}=2^{6}=64.
Em seguida multiplicamos os argumentos por 12:
12\cdot\frac{\pi}{4}=3\pi,\qquad 12\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-3\pi.
Logo, usando (re^{\mathrm{i}\theta})^{n}=r^{n}e^{\mathrm{i}n\theta}, temos
(1+\mathrm{i})^{12}=64\,e^{\mathrm{i}3\pi},
(1-\mathrm{i})^{12}=64\,e^{-\mathrm{i}3\pi}.

Passo 4

Avaliamo as exponenciais complexas em termos de cosseno e seno (fórmula de Euler): e^{\mathrm{i}\varphi}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi.\n
Para \varphi=3\pi sabemos que \cos 3\pi=\cos\pi=-1 e \sin 3\pi=0. Portanto
e^{\mathrm{i}3\pi}=\cos 3\pi+\mathrm{i}\sin 3\pi=-1+0\mathrm{i}=-1.
Analogamente e^{-\mathrm{i}3\pi}=\cos 3\pi-\mathrm{i}\sin 3\pi=-1-0\mathrm{i}=-1.\n
Substituindo:
(1+\mathrm{i})^{12}=64\cdot(-1)=-64,
(1-\mathrm{i})^{12}=64\cdot(-1)=-64.

Passo 5

Agora fazemos a subtração pedida:
(1+\mathrm{i})^{12}-(1-\mathrm{i})^{12} = -64 - (-64) = 0.
Observação rápida e útil para prova: como (1-\mathrm{i}) é o conjugado de (1+\mathrm{i}), temos (1-\mathrm{i})^{12}=\overline{(1+\mathrm{i})^{12}}. A diferença entre um número e seu conjugado é 2\mathrm{i} vezes a parte imaginária; se a potência deu um número real (como aqui -64), a diferença será zero.

Passo 6

Resumo didático para memorização rápida: ao ver potências de 1\pm\mathrm{i} é geralmente mais rápido passar para forma polar, tirar módulo e multiplicar o argumento. Muitas vezes as potências acabam sendo reais por simetria das fases, e a diferença pode anular-se como aqui. Isso economiza tempo na prova em comparação com expandir binomialmente.

Resposta

e) 0

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