Questão 33 (Mack - SP)
O valor de (1+\mathrm{i})^{12}-(1-\mathrm{i})^{12}, onde \mathrm{i}^{2}=-1 é igual a:
a)
-128 i
b) -128
c) 128
d) 128 i
e) 0
Passo 1
O enunciado pede o valor de (1+\mathrm{i})^{12}-(1-\mathrm{i})^{12}, sabendo que \mathrm{i}^{2}=-1.\n
Informações relevantes dadas:
Os números complexos envolvidos são 1+\mathrm{i} e 1-\mathrm{i}.
Precisamos calcular as duas potências de expoente 12 e então subtrair uma da outra.
As opções de resposta incluem 0, portanto pode ser que as duas potências sejam iguais.
Passo 2
Vamos transformar 1+\mathrm{i} e 1-\mathrm{i} em forma polar (módulo e argumento). Isso facilita elevar à potência 12.\n
Definições rápidas (aula mastigada):
O módulo de um complexo x+\mathrm{i}y é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Ele mede “o tamanho” do número no plano.
O argumento é o ângulo \theta tal que \tan\theta=\dfrac{y}{x} (atenção ao quadrante). Em forma polar escrevemos r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) ou re^{\mathrm{i}\theta}.
Regra de potência (fórmula de De Moivre / propriedade de exponenciação): (re^{\mathrm{i}\theta})^{n}=r^{n}e^{\mathrm{i}n\theta}. Isso significa que elevamos o módulo à potência n e multiplicamos o argumento por n.\n
Agora aplicando:
Para 1+\mathrm{i}: o módulo é \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}. O argumento é \theta=\arctan(1/1)=\pi/4 (primeiro quadrante). Portanto
1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\,e^{\mathrm{i}\pi/4}.
Para 1-\mathrm{i}: o módulo é também \sqrt{2}. O argumento é -\pi/4 (quarto quadrante), então
1-\mathrm{i}=\sqrt{2}\,e^{-\mathrm{i}\pi/4}.
Passo 3
Agora elevamos cada um à potência 12 usando a propriedade explicada.\n
Calculemos primeiro o módulo elevado:
Avaliamo as exponenciais complexas em termos de cosseno e seno (fórmula de Euler): e^{\mathrm{i}\varphi}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi.\n
Para \varphi=3\pi sabemos que \cos 3\pi=\cos\pi=-1 e \sin 3\pi=0. Portanto
Observação rápida e útil para prova: como (1-\mathrm{i}) é o conjugado de (1+\mathrm{i}), temos (1-\mathrm{i})^{12}=\overline{(1+\mathrm{i})^{12}}. A diferença entre um número e seu conjugado é 2\mathrm{i} vezes a parte imaginária; se a potência deu um número real (como aqui -64), a diferença será zero.
Passo 6
Resumo didático para memorização rápida: ao ver potências de 1\pm\mathrm{i} é geralmente mais rápido passar para forma polar, tirar módulo e multiplicar o argumento. Muitas vezes as potências acabam sendo reais por simetria das fases, e a diferença pode anular-se como aqui. Isso economiza tempo na prova em comparação com expandir binomialmente.